Пронумерованные шары, дисперсия, вероятность

[faruk]

Просматривая интернет обнаружил следующую задачу:

В урне находятся 10 шаров, пронумерованных с 0 по 9. Вынимается один шар, записывается число, и шар возвращается на место. Эта процедура выполняется 100 раз. Случайная величина (СВ) в этом эксперименте – это среднее арифметическое вытягиваемых чисел. Найти требуется:

a) математическое ожидание СВ
b) дисперсию СВ
c) вероятность того, что СВ будет больше 5
d) вероятность того, что СВ будет не более 4,5

Вопрос у меня такой. Считать всё строго по формулам ("в лоб") не представляется возможным, так как всего $10^{10}$ равновероятных элементарных исходов эксперимента, а сама СВ может принимать значения $\{0, 0.01, 0.02, 0.03, ... , 8.99, 9\}$ с различной вероятностью. Значит, должна быть какая-то другая возможность вычисления – задача-то учебная...
Если в случае математического ожидания можно в данном случае обойтись без подробных расчетов, то как быть с дисперсией и вероятностями?

[Профессор Снэйп]

Господи! Да это же просто среднее арифметическое от сотни независимых равномерно распределённых дискретных случайных величин.

Давно всё это сдавал, забыл уже. Но... что-то брезжит такое смутное в голове. По-моему, дисперсия и матожидание у этого среднего будут такие же, как и у каждой складываемой величины в отдельности. А среднее из $n$ величин с ростом $n$ будет стремиться к нормальному распределению с этими самыми матожиданием и дисперсией. Это называется ЦПТ

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

По-моему, дисперсия и матожидание у этого среднего будут такие же, как и у каждой складываемой величины в отдельности.

С дисперсией Вы чуток промахнулись.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

По-моему, дисперсия и матожидание у этого среднего будут такие же, как и у каждой складываемой величины в отдельности.

С дисперсией Вы чуток промахнулись.

Охотно это допускаю.

А как там будет на самом деле?

[RIP]

Дисперсия будет в 100 раз меньше (дисперсия суммы независимых с.в. равна сумме дисперсий, но множитель из под дисперсии выносится в квадрате (а в комплексном случае ещё и по модулю)).

[Профессор Снэйп]

Да, действительно. Глянул Википедию: в ЦПТ сумму $n$ величин на $\sqrt{n}$, а не на $n$ делят.

[faruk]

Значит, все-таки аппроксимация...
Странно, во всех учебных задачах, которые я когда-либо видел, случаи требования или разрешения аппроксимации дискретного распределения нормальным (или каким-либо другим, напр. Пуассона) всегда указывались в явной форме.

[Henrylee]

Профессор Снэйп писал(а):

Да, действительно. Глянул Википедию... сумму $n$ величин на $\sqrt{n}$, а не на $n$ делят.

Ну да, а среднее тремится п.н. к мат ожиданию, это называется УЗБЧ

Добавлено спустя 5 минут 13 секунд:

faruk писал(а):

Значит, все-таки аппроксимация...

Это Вы про вопросы c) и d) ?

[faruk]

Henrylee писал(а):

Это Вы про вопросы c) и d) ?

Да. Дисперсия, как мы видим, считается легко и просто.
А вот вероятности напр. для «не более 4» и «менее 4» для дискретного распределения, в отличие от непрерывного, не одно и то же.

[Профессор Снэйп]

faruk писал(а):

Значит, все-таки аппроксимация...

Ну почему же? Вычисление точного значение (с любой наперёд заданной точностью) здесь достаточно легко запрограммировать.