Док-во критерия нормальности подгруппы из книги "т-ма Абеля"

[irod]

В книге есть задача (№101):
Подгруппа $N$ группы $G$ является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда левое и правое разложения группы $G$ по подгруппе $N$ совпадают.

Я легко доказал в одну сторону (если $N$ нормальная, то левое и правое разложения совпадают), но долго бился с док-вом в другую сторону, и в итоге посмотрел ответ в конце книги. И он оставил меня в недоумении. Привожу его тут:



"Так как классы $gN$ и $Ng$" имеют общий элемент $g$, то они должны совпадать" - с чего бы это? Берем единицу $e\in N$, тогда $ge=eg$, и получается что левый и правый смежные классы по любой подгруппе, порожденные $g$, всегда равны. И это в любой группе $G$, коммутативной или нет. Но это ведь не так?
Если что я успешно доказал ранее задачу 82, но там ведь про совпадение двух левых смежных классов при наличии общих элементов, а тут левый и правый.

Вообще я уже давно хотел обсудить тут эту книжку и вообще основы теории групп, у меня есть еще вопросы, но их я озвучу позже.

[Xaositect]

irod в сообщении #1218689 писал(а):

"Так как классы $gN$ и $Ng$" имеют общий элемент $g$, то они должны совпадать" - с чего бы это?

Это как раз следует из того, что разложения совпадают, т.е. каждый левый смежный класс равен какому-то правому. Различные правые смежные классы не пересекаются, так что в этом случае если левый класс пересекается с правым, то они равны.
В общем случае это, конечно, неверно

[SomePupil]

irod в сообщении #1218689 писал(а):

когда левое и правое разложения группы $G$ по подгруппе $N$ совпадают.

Как Вы трактуете эту фразу?

[irod]

Xaositect
большое спасибо, теперь я понял.

SomePupil
Трактую как равенство $\{gN\mid g\in G\}=\{Ng\mid g\in G\}$, что означает следующее:
1) для любого $g\in G$ найдется $g'\in G$ такой что $gN=Ng'$;
2) для любого $g'\in G$ найдется $g\in G$ такой что $gN=Ng'$.

[irod]

Что-то не дается мне эта тема про нормальные подгруппы. Бьюсь уже долго над следующей задачей (№102):

Пусть $n$ - порядок группы $G$, $m$ - порядок подгруппы $H$, и $m=n/2$. Доказать, что $H$ является нормальной подгруппой группы $G$.

В ответах в конце книги указание: в этом случае левое и правое разложение содержат 2 класса: один - данная подгруппа, второй - все остальные элементы. Далее см. теорему 2 (это предыдущая задача №101, ради которой я и создал эту тему).

Мои попытки.
То что $GH$ и $HG$ содержат $H$ - это очевидно (надо просто взять $e\in G$: $eH=He=H$). А вот как доказать что $GH$ и $HG$ кроме $H$ содержат все остальные элементы?
Далее неструктурированный поток мыслей и идей, которые я пытался использовать (до и после прочтения указания из ответов), но они меня пока ни к чему ни привели. Это все в основном доказанные мной предыдущие задачи.
Любой внутренний автоморфизм - это изоморфизм. Легко доказать, что изоморфизм переводит подгруппу в подгруппу, т.е. для произвольного $g\inG$ $gHg^{-1}$ есть подгруппа группы $G$, причем порядок этой подгруппы равен порядку подгруппы $H$, т.е. $m$. Может ли в $G$ существовать другая подгруппа порядка $m$ кроме $H$? Вроде этого ничто не запрещает. Порядки образа и прообраза любого элемента при изоморфизме равны. Порядок элемента является делителем порядка (под-)группы - это теорема Лагранжа. Порядки элементов $gh$ и $hg$ равны.

Хелп ми.

[Sonic86]

(старые темы)

http://dxdy.ru/topic46333.html
topic49676.html

irod в сообщении #1229446 писал(а):

В ответах в конце книги указание: в этом случае левое и правое разложение содержат 2 класса: один - данная подгруппа, второй - все остальные элементы. Далее см. теорему 2 (это предыдущая задача №101, ради которой я и создал эту тему).

Это практически полное решение этой задачи.
Просто выпишите список всех левых классов и список всех правых классов и посмотрите на него.

irod в сообщении #1229446 писал(а):

То что $GH$ и $HG$ содержат $H$ - это очевидно (надо просто взять $e\in G$: $eH=He=H$). А вот как доказать что $GH$ и $HG$ кроме $H$ содержат все остальные элементы?

Зачем вообще рассматривать $GH, HG$? Для любых групп $G$ и их подгрупп $H$ $GH=HG=G$, докажите это ради интереса. Вы отсюда просто ничего не получите.

irod в сообщении #1229446 писал(а):

Может ли в $G$ существовать другая подгруппа порядка $m$ кроме $H$?

Может, но это все не то.

[irod]

Sonic86
большое спасибо, теперь разобрался почему только левых и правых классов только 2.