Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n

[fractalon]

Я читаю обзор, где доказывается одна теорема в ${\mathbb Z}_2^n$, Автор там определяет (и потом использует) определение скалярного произведения как $x \cdot y = x_1 y_1 + \dots x_n y_n$ для $x,y \in {\mathbb Z}_2^n$, но не уточняет, берётся ли сумма по модулю 2 или просто как число (то есть $x \cdot y \in {\mathbb Z}_2$ или $x \cdot y \in {\mathbb Z}$). И дальше (при использовании обозначения) начинаются проблемы.
Например, используется "пространство, перпендикулярное вектору" (обозначается как $H={\langle{\lambda}\rangle}^{\perp}$ для $\lambda \in {\mathbb Z}_2^n$), и дальше молчаливо предполагается, что для любого вектора оно имеет коразмерность 1, из чего можно сделать вывод, что сумма в скалярном произведении берётся всё-таки по модулю 2 (иначе для $\lambda = (1, \dots, 1)$ перпендикулярное пространство вообще было бы пусто).
Но при таком подходе "перпендикулярное пространство" - никакое не пространство, ведь сумма двух векторов оттуда может ему же не принадлежать. Например, если $\lambda = (0, 0, 0 \dots, 0), a = (1, 1, 0, \dots, 0), b=(0, 1, 1, \dots, 0)$, то $a \in H, b \in H$, но $a+b \not \in H$. По определению, это ведь тогда уже не пространство?
Более того, дальше для этого самого $H={\langle{\lambda}\rangle}^{\perp}$ автор как очевидность говорит, что $H \sqcup H^{\perp} = {\mathbb Z}_2^n$ (объединение дизъюнктивное). И тут уж вообще непонятно, что значит $H^{\perp}$ (что перпендикулярно по модулю 2 одному вектору из $H$, может быть не перпендикулярно второму), и почему $H \cap H^{\perp} = \emptyset$ (вектор вполне может быть перпендикулярен сам себе).

В общем, запутался я. Подскажите хотя бы, каким образом чаще используется конструкция $x_1 y_1 + \dots + x_n y_n$ в ${\mathbb Z}_2^n$? Ясно, что под формальные аксиомы скалярного произведения она не подходит, бери её хоть так (линейность будет нарушена), хоть по модулю 2 (будут перпендикулярные сами себе вектора), но что может быть пропущено именно в этом конкретном случае использовании такой конструкции? И вообще, существует ли какое-то скалярное произведение в ${\mathbb Z}_2^n$?

[demolishka]

Если $K$ поле, то $K^n$ естественно рассматривать как векторное пространство над $K$. Соответственно скалярное произведение тоже принимает значения из $K$.

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):

$a+b \not \in H$

Почему это?

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):

$H \sqcup H^{\perp} = {\mathbb Z}_2^n$ (объединение дизъюнктивное).

Это конечно бред. Тут никакое не "дизъюнктное объединение", а прямая сумма. Дизъюнктное объединение это сугубо топологическая конструкция, когда нужно, например, объединить две копии вещественной прямой и рассматривать это не как одну прямую, а как две. В Вашем случае ($H=\langle 0 \rangle^{\perp}$), да и в случае ортогонального дополнения до любого подпространства, нулевой элемент лежит и в одном и в другом множестве, поэтому в дизъюнктном объединении будет два нуля.

[Someone]

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):

или просто как число

Э-э-э… А разве элементы $\mathbb Z_2$ — числа? Почему Вы их хотите складывать как числа, а не как элементы $\mathbb Z_2$?

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):

дальше молчаливо предполагается, что для любого вектора оно имеет коразмерность 1

Странное что-то…

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):

Но при таком подходе "перпендикулярное пространство" - никакое не пространство, ведь сумма двух векторов оттуда может ему же не принадлежать.

Фобос и Деймос! Вообще-то, есть теорема, что всегда получается линейное подпространство. Так что с вашим примером что-то не так.

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):

Например, если $\lambda = (0, 0, 0 \dots, 0), a = (1, 1, 0, \dots, 0), b=(0, 1, 1, \dots, 0)$, то $a \in H, b \in H$, но $a+b \not \in H$.

А нельзя ли продемонстрировать соответствующие вычисления?

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):

иначе для $\lambda = (1, \dots, 1)$ перпендикулярное пространство вообще было бы пусто

Почему пусто? Нулевой вектор в любом случае "перпендикулярен" (ортогонален) любому.

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):

хоть по модулю 2 (будут перпендикулярные сами себе вектора)

Конечно, одна из аксиом скалярного произведения действительно нарушена (её даже и сформулировать-то толком нельзя), так что это надо называть как-то иначе. Но остальные-то аксиомы вполне себе выполняются. Однако из-за отсутствия опыта в обращении с такими "скалярными произведениями" я ничего хорошего не могу сказать ни о коразмерности, ни о "дизъюнктивности" (однако нулевой вектор в любом случае входит и в $H$, и в $H^{\perp}$, и могут быть ещё векторы, "перпендикулярные" сами себе).

demolishka в сообщении #1229239 писал(а):

прямая сумма

Боюсь, что и прямой суммы не будет.

[iifat]

Насколько я помню, среди аксиом скалярного произведения наличествует положительность квадрата вектора за единственным исключением нулевого. Ни то, ни другое не выполняется (первое — ввиду отсутствия порядка на ${\mathbb Z}_2$).

[Munin]

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):

В общем, запутался я. Подскажите хотя бы, каким образом чаще используется конструкция $x_1 y_1 + \dots + x_n y_n$ в ${\mathbb Z}_2^n$? Ясно, что под формальные аксиомы скалярного произведения она не подходит, бери её хоть так (линейность будет нарушена), хоть по модулю 2 (будут перпендикулярные сами себе вектора)

Это выражение берётся по модулю 2 (иначе придать смысл этому выражению вообще нельзя).
Такое выражение называется индефинитное скалярное произведение , его аксиомы совпадают с аксиомами скалярного произведения, кроме аксиомы положительной определённости - она просто отсутствует.

В $\mathbb{Z}_2^n$ такое скалярное произведение ведёт себя аналогично скалярному произведению в псевдоевклидовом пространстве Минковского сигнатуры $(1,1).$ То есть, $(1,0)\perp(0,1),$ а $(1,1)$ нормален сам себе, и ничего страшного. Вектор может лежать в подпространстве, которое ему нормально.

Someone в сообщении #1229241 писал(а):

Однако из-за отсутствия опыта в обращении с такими "скалярными произведениями" я ничего хорошего не могу сказать ни о коразмерности, ни о "дизъюнктивности" (однако нулевой вектор в любом случае входит и в $H$, и в $H^{\perp}$, и могут быть ещё векторы, "перпендикулярные" сами себе).

Большинство фактов обычного скалярного произведения продолжают иметь место, и с коразмерностями и с прямыми суммами там всё окей. Только при решении уравнений надо осторожней быть. Впрочем, каждый отдельный факт легко проверить.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1229245 писал(а):

и с прямыми суммами там всё окей.

Нету там прямой суммы, как раз потому что есть изотропные (ортогональные себе) векторы.

(UPD. Это бред) Единственные случаи, когда сумма $H + H^{\perp}$ будет прямой - это $H = 0$ и $H = \left<v\right>$, где вектор $v$ имеет нечетный вес.

[Munin]

Я бы согласился (вы ж математик, я не могу вам не доверять), но как быть с $H=\{a(1,0,0)+b(0,1,0)\}$?
Впрочем, заранее согласен говорить просто "сумма".

[Xaositect]

Munin в сообщении #1229251 писал(а):

Я бы согласился (вы ж математик, я не могу вам не доверять), но как быть с $H=\{a(1,0,0)+b(0,1,0)\}$?
Впрочем, заранее согласен говорить просто "сумма".

$H$ содержит вектор $(1, 1, 0)$, ортогональный самому себе.

[Munin]

И что?
Стоп: произнесите определение $H^\perp.$ Мне кажется, у нас с вами кванторы разные. (Если я прав, то по вашему определению, плоскости в $\mathbb{R}^3$ перпендикулярно всё пространство.)

[Xaositect]

Да, я туплю. Возможны другие случаи. Но иногда все равно не будет прямой суммы, например, если $H = \left<(1,1,0)\right>$

[Munin]

Согласен.