И снова функан...

[thurmit]

Опять требуется ваша помощь... 3 очередных малопонятных для меня задачи по функциональному анализу

1) Является ли непрерывным отображение f(x)=x(1), если оно рассматривается, как действующее из C[0,1] в R^1 ?

2) Докажите, что линейный функционал f непрерывен тогда и только тогда, когда Ker f замкнуто.

3) Определим в пространстве C[a,b] оператор К формулой
(Kx)(t)=${\int_b}^a$k(t,s)x(s)ds, где k - некоторая заданная функция двух переменных. Является ли этот оператор линейным и непрерывным?

Спасибо всем, кто поможет с решением!

[Brukvalub]

Во всех трех задачах достаточно знания определений, которые и нужно проверять. Напишите свои попытки решения задач.

[thurmit]

Хм, по-моему, весь функциональный анализ из этого и состоит Сейчас сижу и разбираюсь, отпишусь чуть попозже...

Добавлено спустя 23 минуты 31 секунду:

Проверьте, пожалуйста, моё решение первой задачи:
Всякое метрическое пространство является топологическим пространством. Из этого следует, что C[0,1] и R^1 - метрические, равно как и топологические.
f(x)=x(1) - функция=отображение. Существует теорема, что функция
F:X->Y, где X и Y - тополог. пр-ва, непрерывна. Из всего этого следует, что наша функция непрерывна. Доказал?

[Echo-Off]

thurmit писал(а):

Существует теорема, что функция
F:X->Y, где X и Y - тополог. пр-ва, непрерывна

Что?!

[thurmit]

Ой, не так прочитал Условия эквивалентны:
функция непрерывна, прообраз f^(-1) (G) любого открытого множества G вложенного в У является открытым, то же самое для замкнутого... Ещё надо думать

[Brukvalub]

thurmit писал(а):

Существует теорема, что функция
F:X->Y, где X и Y - тополог. пр-ва, непрерывна.

Вынужден Вас огорчить - такой теоремы не существует.

[PAV]

PAV:

thurmit, картинки в качестве замены формул не допускаются. Исправьте свои сообщения. Как набирать формулы, написано здесь. В противном случае тема пойдет в карантин.

[thurmit]

Меня интересует, что может означать х(1)?
Если бы функция была f(x)=x, то два других условия легко можно доказать

[Brukvalub]

thurmit писал(а):

Меня интересует, что может означать х(1)?

Это таинственное обозначение означает, что каждой функции сопоставляется ее значение в 1.

[thurmit]

Если я правильно понял насчёт сопоставления функции и её значения (никогда раньше с этим не сталкивался), то F$^{-1}$ (G), где G, влож в У, - открыто/замкнуто, открыто/замкнуто следует из свойств такой функции. Из этого следует пункт теоремы, который я писал выше - функция непрерывна. Теперь правильно?

[Brukvalub]

thurmit писал(а):

Если я правильно понял насчёт сопоставления функции и её значения (никогда раньше с этим не сталкивался), то F$^{-1}$ (G), где G, влож в У, - открыто/замкнуто, открыто/замкнуто следует из свойств такой функции.

Каким образом следует?

[thurmit]

F$^{-1}$(G) (G вложено в Y, G - открытое/замкнутое) = 1, т.к. f(x)=x(1). Я просто не до конца понимаю смысл фразы

Цитата:

каждой функции сопоставляется ее значение в 1

[Brukvalub]

Прообразом такого отображения является множество функций, а не точек!

[Echo-Off]

Пусть $f_n(x)$ - последовательность функций, сходящаяся к $f(x)$ по норме $C[0;\,1]$, т.е. $\max\limits_{x\in[0;\,1]} |f_n(x)-f(x)| \to 0$. Вопрос: стремится ли $f_n(1)\to f(1)$ или нет?

[thurmit]

Ну конечно стремится, раз 1 принадлежит [0;1]. Только я не понимаю, как из этого получить открытость множества функций f(x)...