Клетчатый квадрат

[Rusit8800]

На клетчатой бумаге нарисован квадрат $\[n \times n\]$. Назовем квадрат, находящийся внутри исходного квадрата (или полностью покрывающий его) хорошим, если хотя бы одна его сторона проходит по стороне исходного квадрата. Пусть $K_n$ - количество хороших квадратов нарисованного квадрата. Докажите, что

$$\[{K_n} = 2{n^2} - 2n + 1\]$$

[svv]

Пусть $T_n$ — количество всех внутренних квадратов квадрата $n\times n$ (считая тот, что полностью его покрывает).
$T_n=\sum\limits_{k=1}^n k^2$
Тогда $K_n=T_n-T_{n-2}=(n-1)^2+n^2$

[Rusit8800]

svv в сообщении #1229054 писал(а):

Тогда $K_n=T_n-T_{n-2}=(n-1)^2+n^2$

А вот этот шаг поподробнее можно?

[gris]

Можно, я попробую?
С первым равенством проблем нет: из общего числа внутренних квадратов вычитаем число квадратов, не касающихся границы. То есть, которые содержатся в внутреннем квадрате с отступом на одну клетку от каждой стороны первоначального квадрата.
Со вторым равенством посложнее будет. Впрочем, если переставить слагаемые, то оно будет немного яснее. $...=n^2+(n-1)^2$

[TOTAL]

Rusit8800 в сообщении #1228885 писал(а):

На клетчатой бумаге нарисован квадрат $\[n \times n\]$. Назовем квадрат, находящийся внутри исходного квадрата (или полностью покрывающий его) хорошим, если хотя бы одна его сторона проходит по стороне исходного квадрата. Пусть $K_n$ - количество хороших квадратов нарисованного квадрата. Докажите, что

$$\[{K_n} = 2{n^2} - 2n + 1\]$$

У всех хороших квадратов разные центры, а этими центрами являются:

$n^2$ - центры всех клеток
$(n-1)^2$ - внутренние углы клеток

[Rusit8800]

TOTAL в сообщении #1229904 писал(а):

У всех хороших квадратов разные центры, а этими центрами являются:

$n^2$ - центры всех клеток
$(n-1)^2$ - внутренние углы клеток

В этом и был подвох.

[Мастак]

Пусть клетки $1\times 1$. В углах клеток - рассматриваемые далее точки.
Тогда вокруг каждой точки внутри основного квадрата $n\times n$ имеется 4 "хороших" квадрата. Внутренних точек $(n-1)^2$.Тогда таких квадратов $4(n-1)^2$, НО все квадраты учитываются дважды, кроме квадратов которые вокруг точек, находящихся по диагональным точкам основного квадрата, и таких квадратов $2n-1$ (где хорошие квадраты вокруг точки не встречаются еще вокруг какой-либо точки).
То есть всего "хороших" квадратов $(4(n-1)^2)/2+(2n-1)=2n^2-2n+1$.