Множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы

[dima_1985]

Здравствуйте ! Вот собственно задача. Найти множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы $x^2-2y^2=1$, параллельных прямой $2x-y=0$. Взял точку на гиперболе $A_1(1,0)$ и симметричная $A_2(-1,0)$. Провел прямые параллельные заданной $y=2x-2,y=2x+2$. Подставил в уравнение, получил $x^2-2(2x-2)^2=1,x^2-2(2x+2)^2=1$. Решил два уравнения получил две точки $B_1(\frac{9}{7},\frac{4}{7})$ и симметричная $B_2(-\frac{9}{7},-\frac{4}{7})$. Второе можно было и не решать воспользоваться тем, что есть симметричная точка? Нашел середины отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$ точки $M_1(\frac{8}{7},\frac{2}{7})$ $M_2(-\frac{8}{7},-\frac{2}{7})$. По точкам $M_1,M_2$ построил прямую. Получил $x-4y=0$. Я думаю, что задача решена верно? В моем решении есть проблема квадратное уравнение мне повезло, что корни получились хорошие. Вопрос состоит в том, а можно проще и как?

[12d3]

dima_1985 в сообщении #1228315 писал(а):

По точкам $M_1,M_2$ построил прямую.

Почему прямую? Почему не кривую, параболу там какую-нибудь? То, что это должна быть именно прямая, вам и надо доказать. Надо рассматривать не две какие-то хорды, которые вам понравились, а вообще все хорды.

[dima_1985]

12d3 в сообщении #1228320 писал(а):

Почему прямую? Почему не кривую, параболу там какую-нибудь? То, что это должна быть именно прямая, вам и надо доказать. Надо рассматривать не две какие-то хорды, которые вам понравились, а вообще все хорды

Можно рассуждать так.
1) Рассмотрим все хорды параллельные $y=0$. Тогда центры дынных хорд будут лежать на прямой $x=0$. Так, как прямая $x=0$ являться центром симметрии.
2) Перейдем к новой системе координат $X'O'Y'$повернув старую на $\cos(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.А дальше можем рассуждать как в пункте 1.
Вроде так ?

[12d3]

dima_1985 в сообщении #1228339 писал(а):

2) Повернем нашу систему координат на $\cos(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.А дальше можем рассуждать как в пункте 1.

Нельзя. Это вы нарассуждали с хордами, параллельными главным осям. А что делать с остальными хордами? Они от поворота всей картинки на какой-то угол не станут параллельными главным осям.
Рассмотрите множество прямых, параллельных заданной в условии, для каждой из этих прямых найдите середину хорды, содержащейся в этой прямой.

[Brukvalub]

Вообще-то, есть стандартная теорема: середины хорд кривой 2-го порядка, параллельных некоторому не асимптотическому ее направлению, лежат на прямой (называемой диаметром, сопряженным этому не асимптотическому направлению). Так что, если знать эту теорему, то двух хорд достаточно.

[popolznev]

Не так уж сложно убедиться в том, что середины ваших хорд лежат на прямой $x-4y=0$, но есть ещё момент: они не будут заполнять всю эту прямую.

[dima_1985]

12d3
Попытался воспользоваться алгоритмом, который Вы написали. Рассуждал так, взял обозначил точкой $M(x_0,y_0)$ середину хорд, лежащих на прямых параллельных данной $2x-y=0$. Параметрическое уравнение имеет вид
$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=&x_0 + t \\ y &=&y_0+2t \\ \end{array} \right. $. Возьмем произвольную точку на гиперболе $K(x_1,y_1)$ и ей симметричную $K'(2x_0-x_1,2y_0-y_1)$ относительно $M$.Так как точки $K',K$ принадлежат прямой, получим систему $\left\{ \begin{array}{rcl} (2x_0-x_0-t)^2-2(2y_0-y_0-2t)^2 &=&1 \\ (x_0+t)^2-2(y_0+2t)^2 &=&1 \\ \end{array} \right.$. Из второго вычтем первое и получим $4tx-16ty=0$. Вроде так ?

[12d3]

dima_1985 в сообщении #1228818 писал(а):

Из второго вычтем первое и получим $4tx-16ty=0$. Вроде так ?

Уже лучше. Тут можно сократить на $4t$, получим уравнение вполне себе прямой. Однако это еще не конец. Вы пока нашли, что все точки из требуемого множества лежат на прямой. Но надо выяснить, а каждая ли точка этой прямой является серединой какой-либо хорды.

[dima_1985]

12d3 в сообщении #1228834 писал(а):

Но надо выяснить, а каждая ли точка этой прямой является серединой какой-либо хорды.

Точка $M$ является серединой хорды. Точки $K'$ и $K$ это концы хорды, я таким образом изначально $M$ выбрал чтобы $\frac{K'K}{KM}=\frac{2}{1}$. У нас получается для каждой хорды существует точка $M_1,M_2M_3,M_3..M_n$. Наша прямая проходит через эти точки? Или я что-то недопонимаю?

[12d3]

dima_1985 в сообщении #1228913 писал(а):

Или я что-то недопонимаю?

Ну вот например, начало координат является серединой какой-то хорды? Наша прямая ведь проходит через начало координат.

[dima_1985]

12d3 в сообщении #1228917 писал(а):

Ну вот например, начало координат является серединой какой-то хорды?

Да, является. Т.е. Вы хотите сказать, что надо взять каждую точку принадлежащей прямой и проверить, что эта точка середина хорды? Сделать тем самым проверку?

[12d3]

dima_1985 в сообщении #1228927 писал(а):

Да, является

Точно-точно? Если да, то каковы координаты концов? Речь идёт о хордах, параллельных заданной в условии прямой.

[dima_1985]

Нет, я ошибся. Подставил в параметрическое уравнение прямой $2x-y$ пересечений нет. Я понял это только для внутренних частей гиперболы(правее правой и левее левой)? Нарисовал график и разобрался. Я не учитывал этого раньше. Думал, что прямые будут пересекать две ветви гиперболы. Спасибо Вам!!