Биномиальное тождество

[Mishka_Barni]

Придумал задачу.
Помоги медвежонку доказать биномиальное тождество:

$$ \sum\limits_{p=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}(-1)^p C^{2p}_n=2^{\frac{n}{2}}\cos\left(\frac{\pi n}{4}\right). $$

(Оффтоп)

Придумал два способа доказать: 1-ый -- естественный, но муторный, 2-ой -- противоестественный, но быстрый.

[Xaositect]

Ну, суть конечно в $\operatorname{Re} (1 + i)^n$, а уж как это объяснять медвежатам - это другой вопрос.

[Mishka_Barni]

Да, суть в этом

Xaositect в сообщении #1228257 писал(а):

$\operatorname{Re} (1 + i)^n$

.

Любопытно (no не интересно) было бы доказать без помощи формулы Эйлера. Например, использовать интегральное представление для биномиальных коэффициентов:

$$ C_n^k=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos\left( \left(\frac{n}{2}-k\right)t\right)2^n\cos^n(t/2)dt, $$

которое предварительно доказать, не обращаясь к теореме Коши из ТФКП. Ну и, просуммировать косинусы с помощью "всяких формул умножения"... Конечно, всё это ненужные исхищрения.

[Shadow]

Можно, наверное, внимательно присмотреться в формулах

$\dfrac{(-1+1)^n+(-1\pm{-1})^n}{2}$

Но это пока что так...рассуждения вслух.