Вычислить сумму ряда

[axeler44]

День добрый
имеется ряд, необходимо вычислить сумму, пытался решить и вроде решил, но конечный ответ не сошелся с проверкой в вольфраме.

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{2n} \cdot (\dfrac{3}{4})^{2n+1}$

1. заметил, сходство с разложенной функцией arctg(x), выглядящей вот так:
$$\sum\limits_{}^{} \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1} \cdot (x)^{2n+1}$


2. для приведения к подобному виду знаменатель и числитель домножил на (2n+1) и получил следующий член ряда:
\dfrac{(-1)^{n}\cdot(2n+1)}{2n\cdot(2n+1)} \cdot (\dfrac{3}{4})^{2n+1}$


3. после чего приступил сразу к вычислению суммы ряда:
\lim\limits_{n\to\infty}^{} \df\arctg(\dfrac{3}{4}) \cdot \dfrac{2n+1}{2n}


4. используя свойства привел запись к виду:
\lim\limits_{n\to\infty}^{} \df\arctg(\dfrac{3}{4}) \cdot \lim\limits_{n\to\infty}^{} \dfrac{2n+1}{2n}


5. и получил конечный ответ:
\arctg(\dfrac{3}{4})


подскажите пожалуйста, какой пункт неверный, и в чем моя ошибка.

[mihaild]

Переход от 2 к 3 некорректен. У вас домножается каждый член ряда для арктангенса на некоторую свою величину, а не весь ряд на одно и то же.

(этот переход по сути означал бы, что домножение общего члена ряда на что-то, стремящееся к единице, не меняет сумму - что очевидно неправда)

[Someone]

Вы правы, что следует заменить число $\frac 34$ на переменную (например, на $x$), но сделать это надо аккуратно, не ссылаясь на "сходство". А уже после замены думать, на что этот ряд похож и что с ним делать. У Вас же, наверное, были какие-то теоремы о степенных рядах (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование, …). Вот этими теоремами и надо пользоваться.

[axeler44]

спасибо, учел ошибки, получил следующее решение:


1. заменил \dfrac{3}{4} заменил на x, получил следующий член ряда:

\dfrac{(-1)^{n}}{2n} \cdot (x)^{2n+1}$


2. вынес константы, разложил степень и а так же вынес минус, чтобы изменить степень с (-1)^{n} на (-1)^{n-1} и получил следующий ряд :

\dfrac{1}{-2} \cdot $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot (x)^{2n} \cdot (x)$


3. заметил сходство с разложением функции \ln(1+x) в ряд и пришел к следующей записи:

\dfrac{1}{-2} \cdot \ln(1+(\dfrac{3}{4})^{2}) \cdot (\dfrac{3}{4})


4. в конечном результате получил следующую запись:

\dfrac{3}{-8} \cdot \ln(1+(\dfrac{3}{4})^{2})

Боюсь опять где-то ошибка, так как ответ снова не сошелся.

[Tiberium]

axeler44
Почему не сошелся? Вольфрам дает точно такой же ответ

[axeler44]

Tiberium в сообщении #1227915 писал(а):

axeler44
Почему не сошелся? Вольфрам дает точно такой же ответ

прошу прощения, да, точно, все верно.
Всем Большое спасибо