Уравнение с факториалом факториала

[Ktina]

Решить в целых неотрицательных числах уравнение:

$$(a!)!+b!+20=c^3$$

[Dan B-Yallay]

$(1!)!+3!+20 = 3^3$

[mihaild]

При $a > 2, b > 3$ левая часть дает остаток $4$ по модулю $8$, чего у кубов не бывает.
1) Если $a = 0$ или $a = 1$, получаем $b! + 21 = c^3$. При $b > 8$ левая часть дает остаток $21$ по модулю $27$. Перебираем значения от $0$ до $8$, получаем решение $a = 0, 1; b = 3; c = 3$.
2) Если $a = 2$, получаем $b! + 22 = c^3$, при $b > 3$ левая часть по модулю $8$ равна $6$, так что $b \leqslant 3$, перебором определяем, что ничего подходящего нет.
3) Если $b = 0$ или $b = 1$, то аналогично первому случаю $(a!)! < 9$, откуда $a < 3$ - эти случаи мы уже разобрали
4) Если $b = 2$, то аналогично второму случаю $(a!)! < 4$, что мы опять же уже разобрали.

[Ktina]

mihaild
Большое спасибо!