интегрируемость по Риману и первообразная

[Someone]

RIP писал(а):

Someone писал(а):

Я как-то "по умолчанию" под замкнутым промежутком имел в виду отрезок.

Тогда Ваше утверждение сразу очевидно неверно (отрезок может отображаться на $\mathbb R$). Видимо, это обстоятельство подтолкнуло меня к тому, чтобы понять "замкнутый промежуток" как "промежуток, являющийся замкнутым множеством". Как на самом деле должно быть, я не знаю.

Проврался я, и всё. И в том, и в другом случае.

RIP писал(а):

Someone писал(а):

Вторая задача не обсуждалась, ...

На самом деле ответ уже приводился.

Да, действительно. Не обратил внимания. Отвлёк спор о свойстве Дарбу. Кстати, эту же функцию я и имел в виду.

[malykh89]

Someone писал(а):

Функция с разрывом первого рода интегрируема по Риману, но не имеет первообразной, так как по теореме Дарбу производная должна принимать все промежуточные значения, и, следовательно, таким же свойством должна обладать функция, имеющая первообразную.

Функция (которая является производной другой функции) имеет разрыв 1-го рода. Но это не значит, что она не принимает все промежуточные значения из [f(a),f(b)]. Не находите?

[Brukvalub]

malykh89 писал(а):

Функция (которая является производной другой функции) имеет разрыв 1-го рода. Но это не значит, что она не принимает все промежуточные значения из [f(a),f(b)]. Не находите?

Конечно, Вы правы. Только
1. В Ваших обозначениях остается непонятным, что есть [f(a),f(b)] - отрезок между двумя значениями функции, или ее производной? В т. Дарбу речь идет о значениях производной
2.Считайте, что приведенная мной ссылка на статью из Википедии была ссылкой на пример по теме "О некоторых идиотах, мнящих себя знатоками, или, как не нужно писать статьи в Википедии". Тем самым, Вы узнали, что Википедия не всегда является надежным источником знаний, а я узнал, что, прежде чем ссылаться на статью из Википедии, нужно самому убедиться, что в ней нет вранья.
3. Надежным источником знаний по этой теме заведомо является учебник Фихтенгольца, на который сослался Someone
Вот его и полистайте!

[malykh89]

Brukvalub писал(а):

Конечно, Вы правы. Только

1. В Ваших обозначениях остается непонятным, что есть [f(a),f(b)] - отрезок между двумя значениями функции, или ее производной? В т. Дарбу речь идет о значениях производной

По условию f(x) есть производная некоторой другой функции (ее первообразной), т.е. F'(x)=f(x), существование первообразной которой мы должны опровергнуть. В итоге, все вспоминают теорему Дарбу о производной, принимающей все свои значения из отрезка [f(a),f(b)]. При этом говорят, что если у нее разрыв 1-го рода, то она не принимает все значения из отрезка [f(a),f(b)]. Но это же неверно.

[Brukvalub]

Вы учебник Фихтенгольца уже почитали?

[RIP]

malykh89 писал(а):

По условию f(x) есть производная некоторой другой функции (ее первообразной), т.е. F'(x)=f(x), существование первообразной которой мы должны опровергнуть. В итоге, все вспоминают теорему Дарбу о производной, принимающей все свои значения из отрезка [f(a),f(b)]. При этом говорят, что если у нее разрыв 1-го рода, то она не принимает все значения из отрезка [f(a),f(b)]. Но это же неверно.

Если функция (для простоты определенная на $\mathbb R$) в какой-то точке имеет разрыв первого рода, то она не может удовлетворять свойству Дарбу.
Насколько я понял, Вы рассуждаете так. Пусть у нас функция $f(x)$ определена на $[a;b]$ и в некоторой точке $c\in(a;b)$ имеет разрыв первого рода. Но отсюда не следует, что $f$ не принимает все значения между $f(a)$ и $f(b)$. Тут Вы правы. НО! Отрезок в теореме может быть совершенно любой. Если взять $a',b'$ очень близко к $c$, так что $a\leqslant a'<c<b'\leqslant b$, то на отрезке $[a';b']$ нужное свойство выполняться не будет.

[malykh89]

RIP писал(а):

Отрезок в теореме может быть совершенно любой.

не понимаю, откуда это следует...

[Brukvalub]

malykh89 писал(а):

не понимаю, откуда это следует...

Brukvalub писал(а):

Вы учебник Фихтенгольца уже почитали?

???

[RIP]

malykh89 писал(а):

RIP писал(а):

Отрезок в теореме может быть совершенно любой.

не понимаю, откуда это следует...

Что следует? Что теорема верна не только для отрезка $[a;b]$, но и для любого другого отрезка? По-Вашему, если функция определена на отрезке $[c;d]$, то теорема вообще неприменима?

[malykh89]

Я так понимаю, чтобы ограниченная функция f(x) на [a,b] имела первообразную, она должна принимать значения только из промежутка [f(a),f(b)].

[RIP]

malykh89 писал(а):

Я так понимаю, чтобы ограниченная функция f(x) на [a,b] имела первообразную, она должна принимать значения только из промежутка [f(a),f(b)].

По-Вашему, функция $x(1-x)$ не имеет первообразную на $[0;1]$?

[malykh89]

да, чё-то я неправильно веду рассуждения.

[saneka]

всё это,конечно, интерестно.
но тогда помогите привести пример такой функции, которая не имеет разрывов первого рода, но зато нарушает свойство Дарбу

[inginegr]

Brukvalub

Brukvalub в сообщении #122627 писал(а):

Читаем и образовываемся! http://ru.wikipedia............

Цитата из википедии:

Цитата:

Теорема о свойстве Дарбу (Д-свойстве) для непрерывной функции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

Не подскажите, что значит : непрерывный образ отрезка? Это какое-то математическое понятие? Не могу понять это определение.

[bot]

inginegr в сообщении #733330 писал(а):

Не подскажите, что значит : непрерывный образ отрезка? Это какое-то математическое понятие?

Нет, это просто-напросто рюская йизыка: непрерывный образ отрезка - это его образ при непрерывном отображении.