Баллистика ружья

[Rusit8800]

Задача:
Мелкокалиберную винтовку закрепили на стенде так, что её ствол оказался горизонтальным . После этого из винтовки начали стрелять
в мишень, находящуюся от неё на расстоянии $L = 50$ м. Из-за небольшого разброса $\Delta v$ скоростей пуль они попадают в мишень на разной высоте, причём максимальное отклонение высоты их попадания в мишень от её среднего значения составляет $\Delta h = 17$ мм.Определите максимальное отклонение $\Delta v$ скорости пули от её среднего значения $v_0 = 350$ м/с.
Решение:
Введем ДСК: направим ось $Ox$ по линии ружья, центр координат расположим на его кончике. Тогда уравнение движения пули имеет вид:

$$y(t)=-gt^2$$ $$x(t)=v_nt $$

где $v_n$ - начальная скорость. Если $t_p$ - время прилета к мишени, то $x(t_p)= L$, значит $t_p=\[\frac{L}{{{v_n}}}\]$. Отсюда получим высоту $h = \[ - g{\left( {\frac{L}{{{v_n}}}} \right)^2}\]$ пули по оси $Oy$ когда она попадет в цель. При этом максимальная высота $h_1$ достигается при начальной скорости $v_n = \Delta v + v_0$, а минимальная - при $v_n = \Delta v - v_0$. Разность этих высот есть $\Delta h$, откуда имеет уравнение:

$$\[g{\left( {\frac{L}{{{v_0} - \Delta v}}} \right)^2} - g{\left( {\frac{L}{{{v_0} + \Delta v}}} \right)^2} = \Delta h\]$$

Однако это уравнение 4-ой степени, решить которое мне не под силам, поэтому тут определенно где-то ошибка, хотя найти мне ее не удается.

[svv]

Rusit8800 в сообщении #1227530 писал(а):

$y(t)=-gt^2$

Эээ... Кх-гм.

Rusit8800 в сообщении #1227530 писал(а):

Однако это уравнение 4-ой степени

Воспользуйтесь малостью $\Delta v$ по сравнению с $v$ и формулой ($\varepsilon$ мало)
$\dfrac 1{1\pm\varepsilon}\approx 1\mp \varepsilon$

[Rusit8800]

svv в сообщении #1227533 писал(а):

Эээ... Кх-гм.

А чего тут неправильного? При $t=0$ - центр координат (то бишь кончик ружья).

[svv]

$-\dfrac{gt^2}{2}$
Кстати, по-моему, там можно просто привести к общему знаменателю, и всё будет хорошо.

[Dan B-Yallay]

Rusit8800 в сообщении #1227537 писал(а):

А чего тут неправильного? При $t=0$ - центр координат (то бишь кончик ружья).

а пополам кто делить будет?

-- Вт июн 20, 2017 08:44:13 --

svv
Опередили...

[StaticZero]

Rusit8800 в сообщении #1227530 писал(а):

При этом максимальная высота $h_1$ достигается при начальной скорости $v_n = \Delta v + v_0$, а минимальная - при $v_n = \Delta v - v_0$. Разность этих высот есть $\Delta h$, откуда имеет уравнение:

Отклонение от среднего, а не полный размах.

-- 20.06.2017, 17:46 --

Rusit8800 в сообщении #1227530 писал(а):

$v_n = \Delta v - v_0$

Знак.

-- 20.06.2017, 17:47 --

Rusit8800 в сообщении #1227530 писал(а):

$v_n = \Delta v + v_0$

На этой скорости высота попадания должна быть $h_0 + \Delta h$. Зачем вам ещё второе слагаемое?

[Rusit8800]

Dan B-Yallay в сообщении #1227542 писал(а):

а пополам кто делить будет?

Ах да.

svv в сообщении #1227533 писал(а):

Воспользуйтесь малостью $\Delta v$ по сравнению с $v$ и формулой ($\varepsilon$ мало)
$\dfrac 1{1\pm\varepsilon}\approx 1\mp \varepsilon$

А без этого нельзя?

StaticZero в сообщении #1227545 писал(а):

Отклонение от среднего, а не полный размах.

Значит $v_n = \Delta v \[ \pm \frac{1}{2}{v_0}\]$?

StaticZero в сообщении #1227545 писал(а):

Знак.

Какой знак?

-- 20.06.2017, 17:50 --

StaticZero в сообщении #1227545 писал(а):

На этой скорости высота попадания должна быть $h_0 + \Delta h$

Что есть $h_0$?

[Dan B-Yallay]

А по-моему можно отдельно посчитать макс. отклонения $\pm \ \Delta v$ скорости по отдельности. Тогда будет 2 квадратных уравнения и никаких заморочек с четвертой степенью.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1227533 писал(а):

$\dfrac 1{1\pm\varepsilon}\approx 1\mp \varepsilon$

удобнее такое запомнить:

$(1\pm\varepsilon)^a\approx 1\pm a\varepsilon$

[Rusit8800]

Dan B-Yallay в сообщении #1227551 писал(а):

А по-моему можно отдельно посчитать макс. отклонения $\pm \ \Delta v$ скорости по отдельности.

Они уже итак выражены через остальные величины в $h_1$ и $h_2$. А чтобы найти $\Delta v$ необходимо рассмотреть разность.

[Dan B-Yallay]

Rusit8800 в сообщении #1227558 писал(а):

А чтобы найти $\Delta v$ необходимо рассмотреть разность.

А я вам еще раз предлагаю всё же попробовать найти отклонение от средней скорости, при которой пуля попадает ниже.
И отдельно - для случая, когда пуля попадает выше.

[photon]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: более подходящий раздел.

[StaticZero]

Rusit8800 в сообщении #1227550 писал(а):

Какой знак?

У вас $\Delta v > v_0$?

Rusit8800 в сообщении #1227550 писал(а):

Что есть $h_0$?

Высота дырки от пули со скорость $v_0$.

Я тут сильно вперёд забежал, неявно предполагая, что вы будете пользоваться приближением $\Delta v/v_0 \ll 1$. Такое приближение убирает нелинейность разброса высот по вертикали и горизонтали, так что $\Delta h \sim \Delta v$. Это позволяет написать одно линейное уравнение на $\Delta h$.

-- 20.06.2017, 18:14 --

Не стесняйтесь пользоваться в физических задач линейными приближениями, если это не приводит к исчезновению качественных особенностей. Здесь - не приводит, тем более условие задачи прямо кричит о том, что линеаризация необходима:

Rusit8800 в сообщении #1227530 писал(а):

Из-за небольшого разброса $\Delta v$

-- 20.06.2017, 18:23 --

Rusit8800 в сообщении #1227550 писал(а):

А без этого нельзя?

Смысл того, что вы удержите точное выражение, заключается в том, что картина разброса дырок по мишени будет вытянута вниз, и центр разброса сместится относительно $h_0$. Получите ответ в линейном приближении, подставьте в формулу

$$\left(\dfrac{1}{v_0 + \Delta v}\right)^2 = \dfrac{1}{v_0^2} \left(1 - \dfrac{\Delta v}{v_0} + R\right)^2,$$

оцените остаточный член, убедитесь, что он мал.

[svv]

Можно также (предлагали уже?) вычислить $h_0=\dfrac{gL^2}{2(v_0)^2}$ (без минуса, потому что ось вниз), затем $h^{\pm}=h_0\pm\Delta h$, потом $v^{\mp}=\sqrt{\dfrac{gL^2}{2h^\pm}}$ и, наконец, $\Delta v^{\pm}=|v^\pm-v_0|$. Вот тут точно не то что уравнений четвёртой степени не будет, но и квадратных.

[StaticZero]

svv, красиво. Иногда полезно вспомнить, что в обратную сторону все то же самое работает.