сжимающие отображения

[fru1t]

как показать, что оператор фредгольма
$(Ax)(t) = {\int_{0}^{pi/12}{\sin(t-s)x(s)ds} - \cos{t} - t^{2/3}$
является сжимающим? как найти его неподвижную точку?

[worm2]

Выпишите (или прикиньте в уме) определение сжимающего оператора, и получите (напишите здесь) неравенство, которое в итоге нужно доказать.

[fru1t]

оператор сжимающий, если K(b-a)<1. но что в данном случае К? sin(t-s)?

[Dan B-Yallay]

fru1t писал(а):

оператор сжимающий, если K(b-a)<1. но что в данном случае К? sin(t-s)?

Что такое K(b-a) и откуда вы взяли такое определение? Если расстояние $|b-a| < 0.001$ и $K(b-a)= 0.95<1$ то он все еще сжимающий?

[fru1t]

ну и чепуху я написал... точного определения не знаю, но в данном случае оператор сжимающий, если
${max_{0\le{t}\le{pi/12}}}{\int_{0}^{pi/12}{|\sin(t-s)|ds}}<{1}$
Я это уже доказал. теперь надо решить уравнение $x(t)=Ax(t)$

[PAV]

fru1t
Вам уже указывали, что на нашем форуме следует записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка). Кроме того, темам следует давать содержательные названия, отражающие предметную область вопроса. Тема переезжает в карантин. Когда исправите свои сообщения, напишите любому модератору сообщение. Новую тему по тому же вопросу не создавайте.

Добавлено спустя 2 часа 42 минуты 59 секунд:

Возвращено

[ewert]

fru1t писал(а):

ну и чепуху я написал... точного определения не знаю, но в данном случае оператор сжимающий, если
${max_{0\le{t}\le{pi/12}}}{\int_{0}^{pi/12}{|\sin(t-s)|ds}}<{1}$
Я это уже доказал. теперь надо решить уравнение $x(t)=Ax(t)$

Раскройте скобки в синусе -- получите конечномерный оператор второго ранга, после чего задача сводится к системе обычных линейных алгебраических уравнений два на два.

[ewert]

Dan B-Yallay писал(а):

fru1t писал(а):

оператор сжимающий, если K(b-a)<1. но что в данном случае К? sin(t-s)?

Что такое K(b-a) и откуда вы взяли такое определение?

Это -- очень грубая оценка равномерной нормы интегрального оператора (т.е. в пространстве непрерывных функций). Здесь K -- оценка максимума модуля ядра, (b-a) -- длина промежутка интегрирования. В данном случае эта оценка действительно с большим запасом гарантирует сжимаемость.

[Dan B-Yallay]

ewert писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

fru1t писал(а):

оператор сжимающий, если K(b-a)<1. но что в данном случае К? sin(t-s)?

Что такое K(b-a) и откуда вы взяли такое определение?

Это -- очень грубая оценка равномерной нормы интегрального оператора (т.е. в пространстве непрерывных функций). Здесь K -- оценка максимума модуля ядра, (b-a) -- длина промежутка интегрирования. В данном случае эта оценка действительно с большим запасом гарантирует сжимаемость.

Возможно так оно и есть. Непонятно почему в качестве определения дается такая грубая оценка. А вообще, если не изменяет память, $K:X \rightarrow X$ - строго сжимающий если $\forall \, x(t), y(t) \in X : ||K(x(t)-y(t))|| \le \alpha ||x(t)-y(t)||, 0<\alpha \le (1-\varepsilon) < 1$ Ну и соответственно - просто сжимающий если альфа меньше единицы нестрого.

[ewert]

Dan B-Yallay писал(а):

Возможно так оно и есть. Непонятно почему в качестве определения дается такая грубая оценка. А вообще, если не изменяет память, $K:X \rightarrow X$ - строго сжимающий если $\forall \, x(t), y(t) \in X : ||K(x(t)-y(t))|| \le \alpha ||x(t)-y(t)||, 0<\alpha \le (1-\varepsilon) < 1$ Ну и соответственно - просто сжимающий если альфа меньше единицы нестрого.

Грубая оценка давалась не в качестве определения, а в качестве грубой оценки, гарантирующей сжимаемость, и её вполне достаточно.

А вот Вы, надо сказать, в своём определении подзагнули. Просто 0<\alpha<1$, и баста.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

А вот Вы, надо сказать, в своём определении подзагнули. Просто 0<\alpha<1$, и баста.

Ничего он не загнул в своем определении, а просто указал, что между числом, которое меньше 1 и самой 1 всегда найдется еще одно число, меньшее 1. А вы, ewert в этом не уверены, как и в том, что 2 Х 2=4 ?
Кстати, Dan B-Yallay, из того, что, как он пишет, доказал fru1t, следует сжимаемость.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

ewert писал(а):

А вот Вы, надо сказать, в своём определении подзагнули. Просто $0<\alpha<1$, и баста.

Ничего он не загнул в своем определении, а просто указал, что между числом, которое меньше 1 и самой 1 всегда найдется еще одно число, меньшее 1. А вы, ewert в этом не уверены, как и в том, что 2 Х 2=4 ?

Теперь я уверен! теперь Вы меня убедили! что его определение даже и не полно! надо так:

$0<\alpha<1-\varepsilon<1-{\varepsilon\over2}<{3-\delta\over3}<1$.

Вот теперь -- полный ажур. Какое богатство информационного содержания!

[TOTAL]

Запись $0<\alpha<1-\varepsilon<1$ подразумеват, что найдётся один $\varepsilon$ для всех отображаемых элементов. Для сжимающего отображения это не всегда так. Кроме того, согласно написанному определению отображение $f(x)=100+x/10$ не будет сжимающим, хотя оно сжимающее.

[ewert]

TOTAL писал(а):

Запись $0<\alpha<1-\varepsilon<1$ подразумеват, что найдётся один $\varepsilon$ для всех отображаемых элементов.

Запись $0<\alpha<1-\varepsilon<1$ ровным счётом ничего не подразумевает, поскольку в той фразе ни содержалось решительно никакой информации про эпсилон (в отличие, между прочим, от альфы).

[TOTAL]

ewert писал(а):

TOTAL писал(а):

Запись $0<\alpha<1-\varepsilon<1$ подразумеват, что найдётся один $\varepsilon$ для всех отображаемых элементов.

Запись $0<\alpha<1-\varepsilon<1$ ровным счётом ничего не подразумевает, поскольку в той фразе ни содержалось решительно никакой информации про эпсилон (в отличие, между прочим, от альфы).

И что же Вы там нашли про альфу, чего не нашли про эпсилон?