Введение в общую топологию

[Tiberium]

Появилось желание ознакомиться с основами общей топологии. Хочется какой-нибудь компромиссный вариант между строгостью изложения и доступностью для нестудента мехмата. Есть следующие варианты:

1. Александров - Введение в теорию множеств и общую топологию (читал, что терминология местами устаревшая)
2. Виро,Нецветаев,Иванов, Харламов - Элементарная топология
3. Борисович,Близняков, Израилевич, Фоменко - Введение в топологию
4. Энгелькинг - Общая топология (но 750 страниц - как-то многовато для вводного курса)

Возможно, есть ещё какие-то варианты. Мысль о вводном курсе в общую топологию возникла, когда я в очередной раз не врубился в определение предела по базе. Точнее, интуитивное понимание (очень поверхностное) у меня есть, но хотелось бы разобраться так, чтобы понимать суть со всеми вытекающими формальностями. А это, как я понял, предполагает хотя бы базовое знание общей топологии. Может,я ошибаюсь. В любом случае,нужен совет:) Спасибо!

[Mikhail_K]

Если Вас интересует именно общая топология, а не торы и прочие бублики, то я бы посоветовал начать с книжки
Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, глава 2.
Конкретно про топологические пространства там с середины второй главы, но не лишним будет прочитать обе первые главы полностью.
По-моему, здесь самое ясное изложение из возможных. Если интересуют основы.
А потом уже, может, переходить к каким-то более специализированным книжкам, если будет желание.

Параллельно можете посматривать темы из нашего Избранного ( https://github.com/dxdy-guide/dxdy-guide.github.io/wiki ), Разделы математики / Общая и алгебраическая топология.

[Tiberium]

Mikhail_K в сообщении #1227381 писал(а):

Если Вас интересует именно общая топология, а не торы и прочие бублики, то я бы посоветовал начать с книжки
Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, глава 2.
Конкретно про топологические пространства там с середины второй главы, но не лишним будет прочитать обе первые главы полностью.
По-моему, здесь самое ясное изложение из возможных. Если интересуют основы.
А потом уже, может, переходить к каким-то более специализированным книжкам, если будет желание.

Параллельно можете посматривать темы из нашего Избранного ( https://github.com/dxdy-guide/dxdy-guide.github.io/wiki ), Разделы математики / Общая и алгебраическая топология.

Да, мне сейчас нужны именно самые основы. Ни о каких торах и бубликах речь не идет,до них мне ещё далеко.
Спасибо за совет - я в любом случае собирался начать штудировать Колмогорова и Фомина, теперь точно знаю, что начну сегодня:)

[Anton_Peplov]

Tiberium в сообщении #1227371 писал(а):

Энгелькинг - Общая топология (но 750 страниц - как-то многовато для вводного курса)

Эта книга ни в коем случае не для начинающих. Верно, что в ней материал изложен с самых первых определений, но он изложен:
1) очень тяжелым языком (там даже упорядоченная пара $(x, y)$ определятся как множество $\{\{x\}, \{x, y\}\}$, что с точки зрения теории множеств, конечно, верно, но совершенно не нужно новичку);
2) в совершенно ненужном для новичка объеме;
3) без каких-либо пояснений, откуда растут ноги у вводимых понятий и почему определения такие, какие есть.
Вследствие этих трех пунктов результатом чтения этой книги для новичка будет скорее не усвоение азов топологии, а каша в голове и твердое убеждение, что общая топология - что-то невыносимо сложное (хотя, на мой вкус, азы общей топологии - предмет очень приятный; много просто определяемых понятий и много маленьких теорем, доказывать которые самостоятельно легко и приятно).

Действительно, minimum minimorum по общей топологии изложен во второй главе Колмогорова-Фомина. Если предмет заинтересует Вас и захочется узнать больше, советую Виро, Харламова, Нецветаева.
Отмечу, впрочем, что для понимания предела по базе нужен очень маленький кусочек топологии - практически только определения топологического пространства, сходящейся последовательности, фильтра и базы фильтра. Еще отмечу, что из названных учебников определение фильтра есть, кажется, только в страшном Энгелькинге.

[пианист]

(С большой осторожностью) Александрян, Мирзаханян?

[Anton_Peplov]

Отмечу, что в Энгелькинге понятия фильтра и базы фильтра освещены весьма скупо - только определения и пара теорем. Разбираться со свойствами этих понятий приходится самостоятельно. Лучший способ разбираться с новым объектом, который я знаю - опровергать и доказывать утверждения о нем. Я для себя сформулировал набор таких утверждений, которые легко доказал / опроверг с помощью определения фильтра и базы фильтра (утверждения действительно простые, никаких дополнительных знаний не требуется). Позвольте предложить Вам его в качестве задач.

Понятия фильтра и базы фильтра традиционны. Понятие предбазы фильтра я придумал сам. Предбаза $\Delta$ фильтра $F$ - это такая система множеств, что $F$ есть пересечение всех фильтров, содержащих $\Delta$ как подмножество, то есть $F$ есть минимальный фильтр, содержащий $\Delta$.

I. Доказать или опровергнуть следующие утверждения.

1. Непустое пересечение любого множества фильтров есть фильтр.
2. Объединение фильтров есть фильтр.
3. База задает только один фильтр.
4. Предбаза задает только один фильтр.
5. Всякий фильтр является базой и предбазой для самого себя.
6. Всякая база является фильтром.
7. Всякая предбаза является фильтром.
8. Фильтр линейно упорядочен по включению.
9. База линейно упорядочена по включению.
10. Предбаза линейно упорядочена по включению.
11. Любая база фильтра является его предбазой.
12. Любая предбаза фильтра является его базой.
14. Если две базы порождают один и тот же фильтр, они пересекаются.
15. Если две базы, хотя бы одна из которых конечна, порождают один и тот же фильтр, они пересекаются.
16. Пересечение всех элементов фильтра равно пересечению всех элементов его базы.

II. Определить логические отношения между следующими утверждениями (какие из них необходимы/достаточны для других?).

a) фильтр имеет конечную базу;
b) фильтр имеет базу из одного элемента;
c) пересечение всех элементов фильтра есть элемент фильтра.

[Tiberium]

Anton_Peplov, спасибо за такой обстоятельный ответ! Тогда начинаю с учебника Колмогорова и Фомина, прочитаю про фильтр и базы в Энгелькинге и обязательно вернусь к доказательству Вашего списка утверждений. Мне вот тоже всегда нужно ощущение глубокого понимания,чтобы двигаться дальше. Ощущение "интуитивного понимания" почти всегда в долгосрочной перспективе приводит к отрицательным результатам.

Кстати, можете посоветовать какой-нибудь задачник по математическому анализу с многочисленными примерами решения задач, причем не только тривиальных. Антидемидович, вроде бы, антирекомендуют:)
В других задачниках, которые мне попадались, либо очень мало примеров, либо совсем неинтересные.

[Gordon123]

В качестве такого задачника по математическому анализу подойдёт этот: "Задачи и упражнения по математическому анализу" И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий(издание 2001 года).