Предельные циклы и замкнутые траектории

[Bellesimmo]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться как найти предельные циклы у данной системы
$\dot{x}=-x+2y$
$\dot{y}=-\sin x +y$
Критерий Бендиксона не работает, так так дивергенция ноль. Есть только одна особая точка отвечающая нулевому решению, тип центр у линеаризованной системы, поэтому не могу точно определить устойчивость или неустойчивость данного решения у исходной системы. А можно ли воспользоваться в данном случае формулой Грина? Просто получается, что циркуляция векторного поля вдоль любой замкнутой кривой отрицательна, соответственно у меня есть подозрения, что это показывает о том, что замкнутых траекторий нет.
Заранее спасибо

[DeBill]

Bellesimmo
Посчитайте $\ddot{x}$....

-- 17.06.2017, 02:43 --

Или сделайте замену $(x,y) \to (x,y-2x)$

[Bellesimmo]

А разве вторая производная что-то покажет в данном случае?
То есть даже если циркуляция отрицательная, то замкнутые траектории все равно могут быть?

[Bellesimmo]

Нашла первый интеграл)))
$\cos x + xy - y^2 = C$
Получается, что нулевое решение устойчиво

-- 17.06.2017, 02:30 --

И это центр(можно построить траектории)

-- 17.06.2017, 02:31 --

А предельных циклов нет, так как все траектории будут замкнутыми

[DeBill]

Bellesimmo
ДА!

Bellesimmo в сообщении #1226438 писал(а):

Нашла первый интеграл)))

После замены, он виден невооруженным глазом, да.

[svv]

Bellesimmo в сообщении #1226369 писал(а):

Просто получается, что циркуляция векторного поля вдоль любой замкнутой кривой отрицательна, соответственно у меня есть подозрения, что это показывает о том, что замкнутых траекторий нет.

Bellesimmo в сообщении #1226433 писал(а):

То есть даже если циркуляция отрицательная, то замкнутые траектории все равно могут быть?

DeBill, Bellesimmo
Объясните, пожалуйста, как отрицательная циркуляция может указывать на отсутствие замкнутых траекторий. Вот векторное поле $y\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial y}$, у него все интегральные линии замкнутые, а циркуляция отрицательная.

[DeBill]

svv в сообщении #1226585 писал(а):

как отрицательная циркуляция может указывать на отсутствие замкнутых траекторий

Не знаю. Возможно, ТС имела в виду простые следствия формулы Грина, типа:
1. Если дивергенция поля $v=(P,Q)$ в односвязной области $D$ не обращается в нуль, то там нет циклов (ибо $\int\limits_{\gamma}^{} Qdx - Pdy$ равен нулю для любой фазовой кривой $\gamma$)
2. Если $Q'_x < P'_y$ в $D$, то там нет "положительно ориентированных циклов" (ибо интеграл $\int\limits_{\gamma}^{} Pdx +Qdy$ положителен)

[svv]

Спасибо.
А я так рассуждал. Дивергенция нашего поля $V$ равна нулю. Это всё равно, что $d\omega=0$, где
$\omega={}^*V=(-\sin x+y)dx+(x-2y)dy=d(\cos x+xy-y^2)=df$
Тогда $Vf=\omega(V)=0$, то есть $f$ — первый интеграл.

[DeBill]

Ага. А я так: дивергенция нулевая, значит, фазовый поток сохраняет площадь, значит, система гамильтонова. и гамильтониан - первый интеграл. Но

svv в сообщении #1226657 писал(а):

А я так

- лучше.

[svv]

Нет-нет, у Вас лучше!
Вот ещё картинка:

Видны три особые точки. Видно, что замкнутые траектории есть только внутри «рыбки», она же «глазик».

[DeBill]

svv
Кайф! А кто ее нарисовал?

[svv]

Это я составил программку на C++Builder (аналог Delphi). Подход такой: для каждой точки $(x, y)$ области вычисляем $z=\cos x+xy-y^2$. Область значений $z$ разбиваем на зоны: синие зоны чередуются с белыми зонами.
Тонкости:
1) Если все зоны будут иметь одинаковое $\Delta z$, синие и белые полосы на картинке будут или слишком редкие в центре, или слишком частые на периферии, поэтому пришлось вводить дополнительную «уравнивающую» функцию $\sqrt{|1-z|}$, которая уже делится на равномерные зоны.
2) Хотелось бы, чтобы граница полос проходила через особые точки (уголки глазика), это нужно дополнительно сместить зоны на нужную величину.

В предыдущем подходе рисовались именно траектории: точка бросалась случайным образом и немножко «ехала» на фазовом потоке, потом я её снимал и бросал следующую. Получалось так: