Предельный цикл

[OMY]

Определите устойчивость цикла x^2+y^2=5 системы

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}=2y+x^3(5-x^2-2y^2)\\ \dot{y}=-x+y(5-x^2-2y^2) \end{array} \right.$$

На вещественной плоскости. Ответ обоснуйте.

Сделал замену(r и $\varphi$ зависят от t):
$\tilde{y}$=$\frac{rsin\varphi}{\sqrt{2}}$
$\tilde{x}$=r$\cos\varphi$
Но выражение получается слишком громоздкое. Есть ли более простой способ для решения задач такого типа?

[DeBill]

OMY в сообщении #1226281 писал(а):

Но выражение получается слишком громоздкое.

Да разве это - громоздкое? Вы еще не видали громоздких...
Замена - хороша (вот только зачем волны над...?)
Посчитав Ваше "громоздкое", сразу можно увидеть:
1. $r=\sqrt{5}$ - решение
2. При $r > \sqrt{5}$, $r$ убывает (и наоборот). Значит ....?
Если интересуют показатели Ляпунова цикла (кстати, в формуле для него у Вас опечатка - пропущена двойка) - вот тут и будет "громоздко": надо будет найти в точности решение для цикла, сосчитать для него первую вариацию, и проинтегрировать полученное для нее уравнение... Мало не покажется...

[OMY]

DeBill в сообщении #1226317 писал(а):

OMY в сообщении #1226281 писал(а):

Но выражение получается слишком громоздкое.

Да разве это - громоздкое? Вы еще не видали громоздких...
Замена - хороша (вот только зачем волны над...?)
Посчитав Ваше "громоздкое", сразу можно увидеть:
1. $r=\sqrt{5}$ - решение
2. При $r > \sqrt{5}$, $r$ убывает (и наоборот). Значит ....?
Если интересуют показатели Ляпунова цикла (кстати, в формуле для него у Вас опечатка - пропущена двойка) - вот тут и будет "громоздко": надо будет найти в точности решение для цикла, сосчитать для него первую вариацию, и проинтегрировать полученное для нее уравнение... Мало не покажется...

Понял. Большое спасибо.