2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предельный цикл
Сообщение16.06.2017, 18:57 
Определите устойчивость цикла x^2+y^2=5 системы
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x}=2y+x^3(5-x^2-2y^2)\\
\dot{y}=-x+y(5-x^2-2y^2)
\end{array}
\right.$$
На вещественной плоскости. Ответ обоснуйте.

Сделал замену(r и $\varphi$ зависят от t):
$\tilde{y}$=$\frac{rsin\varphi}{\sqrt{2}}$
$\tilde{x}$=r$\cos\varphi$
Но выражение получается слишком громоздкое. Есть ли более простой способ для решения задач такого типа?

 
 
 
 Re: Предельный цикл
Сообщение16.06.2017, 20:37 
OMY в сообщении #1226281 писал(а):
Но выражение получается слишком громоздкое.

Да разве это - громоздкое? Вы еще не видали громоздких...
Замена - хороша (вот только зачем волны над...?)
Посчитав Ваше "громоздкое", сразу можно увидеть:
1. $r=\sqrt{5}$ - решение
2. При $r > \sqrt{5}$, $r$ убывает (и наоборот). Значит ....?
Если интересуют показатели Ляпунова цикла (кстати, в формуле для него у Вас опечатка - пропущена двойка) - вот тут и будет "громоздко": надо будет найти в точности решение для цикла, сосчитать для него первую вариацию, и проинтегрировать полученное для нее уравнение... Мало не покажется...

 
 
 
 Re: Предельный цикл
Сообщение17.06.2017, 10:56 
DeBill в сообщении #1226317 писал(а):
OMY в сообщении #1226281 писал(а):
Но выражение получается слишком громоздкое.

Да разве это - громоздкое? Вы еще не видали громоздких...
Замена - хороша (вот только зачем волны над...?)
Посчитав Ваше "громоздкое", сразу можно увидеть:
1. $r=\sqrt{5}$ - решение
2. При $r > \sqrt{5}$, $r$ убывает (и наоборот). Значит ....?
Если интересуют показатели Ляпунова цикла (кстати, в формуле для него у Вас опечатка - пропущена двойка) - вот тут и будет "громоздко": надо будет найти в точности решение для цикла, сосчитать для него первую вариацию, и проинтегрировать полученное для нее уравнение... Мало не покажется...

Понял. Большое спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group