PAV писал(а):
golos писал(а):
Сделайте замену
x=iz
y=iz
И удивляйтесь на здоровье:).
У вас любимый метод решения всего и вся - замены переменных. Более того, в том, что мы обсуждали ранее, ничего кроме замен и элементарной арифметики я не заметил. Это, конечно, полезно, но для серьезных задач обычно недостаточно.
В том, что вы написали, есть вопрос. Нам изначально даны x,y,z. Вы можете потребовать x=iz и отсюда определить рациональное число i. Но равенство y=iz тогда уже, вообще говоря, не выполняется.
Хотелось бы также понять, какое разложение на множители хочется получить, например, если x=y=z=1 и при этом разложить надо простое число 3. И вообще, хотим ли мы получать разложения на целые множители или нет (тогда какие?)
Благодарю за проявленный интерес, PAV. Отвечаю по-порядку.
Я не математик и не собираюсь им прикидываться. Потому, кроме элементарных рассуждений, ждать от меня нечего(:.
В уравнении с тремя неизвестными изначально нам вовсе не заданы x,y,z. Их требуется найти, решив уравнение относительно коэффициентов, то есть они могут быть любыми. Сделав предлагаемую замену, где i вовсе не рациональное число, а корень квадратный из минус единицы, я увидел, что уравнение решается элементарно. Насколько понимаю, i никак не нецелое число, потому полагаю, что условия задачи выполнены.
Что касается разложения суммы трёх квадратов на множители. Видимо, я не совсем правильно понял это требование. Потому и предложил то, что предложил. Разложение получается на комплексные множители, но никаких требований к ним предъявлено и не было. Если же подразумевалось решение суммы трёх квадратов в целых числах, то его можно найти. Правда, элементарно. Я уже испытываю смущение-меня часто упрекают в элементарности предлагаемых решений, которые считались невозможными. Такое впечатление, что это грех великий(:.
Итак, известно, что любое нечётное число раскладывается на разность двух квадратов
q=((q+1)/2)^2-((q-1)/2)^2
Квадрат любого нечётного числа есть число нечётное. Следовательно, раскладывается на разность квадратов. То есть
(2n+1)^2=((4n^2+4n+2)/2)^2-^(4n^2+4n)/2)^2
(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2
Думаю, Вы узнали полученную формулу. При целочисленных значениях n она выдаёт пифагоровы тройки чисел. Поскольку справа число всегда нечётное, его вновь можно разложить на разность двух квадратов и получить тем же приёмом решение в общем виде для целочисленных решений кирпича Эйлера. То есть, по сути, разложение суммы трёх квадратов на два одинаковых множителя. Возможно, именно в этом заключался вопрос Наташи.
Но полученный приём в дальнейшем будет выдавать только чётные слагаемые. То есть это будет частным решением. Ибо сумма трёх нечётных квадратичных чисел будет числом нечётным и, следовательно, будет другая серия решений. Кроме того, мы ограничены начальным условием Чтоб особо не рассуждать, привожу решения, которые, на мой взгляд, более общие.
(2n+1)^2+( 2m)^2+(2(n^2+n+m^2))^2=(2(n^2+n+m^2)+1)^2
Применив приём k раз, вполне можно получить сумму четырёх и всех последующих квадратов. Но это будет частным решением. Вот ещё одно
(2n+1)^2+(2k+1)^2+(2m+1)^2+(2(n^2+n+k^2+k+m^2+m)+1)^2=
(2(n^2+n+k^2+k+m^2+m)+2)^2
Справа получено чётное число и цепочка автоматических решений прекращается. Если, конечно, вновь не ввести произвольное нечётное число слева и повторить процедуру.
Возможно, я говорю вздор. Потому подожду Вашей реакции.
