Плоскость через прямую и образующая угол 45 с плоскостью

[dima_1985]

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую $x+5y+z=0, x-z+4=0$ и образующей угол $45$ с плоскостью $x-4y-8z+1=0$. Решение :
1) направляющий вектор прямой $p_1=(5,-2,5)$
2)уравнение плоскости имеет вид $\begin{bmatrix} x+2& y & z+2\\ 5&-2 &5 \\ p_2_x& p_2_y & p_2_z \end{bmatrix}$. Вот как вектор $p_2$ найти? Вот составил такое уравнение $\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{1p_2_x-4p_2_y-8p_2_z}{\sqrt{p_2_x^2+ p_2_y^2+p_2_z^2}}$.

[provincialka]

Собственно, вам нужно найти вектор $\vec n$ нормали к искомой плоскости.

Какой угол $\vec n$ составляет с нормалью заданной плоскости?
Какой угол $\vec n$ составляет с направляющим вектором прямой?

Уравнений побольше, зато смысл их прозрачный.

[dima_1985]

provincialka в сообщении #1224648 писал(а):

Какой угол $\vec n$ составляет с нормалью заданной плоскости?

$45$.

provincialka в сообщении #1224648 писал(а):

Какой угол $\vec n$ составляет с направляющим вектором прямой?

$90$

$\left\{ \begin{array}{rcl} n_x-4n_y-8n_z &=& \frac{9}{\sqrt{2}}\\ 5n_x-2n_y+5n_z &=&0 \\ \end{array} \right.$

[Someone]

Первое уравнение неправильное. Вы формулу для косинуса угла между векторами знаете?
(Второе правильное, но только за счёт того, что косинус равен нулю.)

[dima_1985]

Someone в сообщении #1224695 писал(а):

Первое уравнение неправильное. Вы формулу для косинуса угла между векторами знаете?

$\frac{n_x-4n_y-8n_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}$

[Someone]

Вот, это другое дело. Теперь осталось решить систему. Конечно, в ней неизвестных больше, чем уравнений, но это из-за того, что длина искомого вектора может быть произвольной. Давайте мы выберем какую-нибудь произвольную длину (не $0$, конечно), и это даст нам третье уравнение. Мы можем взять конкретное число, либо обозначить эту длину какой-нибудь буквой, а удобное численное значение выбрать после решения системы.

[provincialka]

(про длину вектора)

Мне кажется, $\sqrt 2$ подойдёт... сократится!

[dima_1985]

Спасибо всем! Получилось два вектора $n_1(1,0,-1),n_2(-1,-20,-7)$. И получилось две плоскости $x+20y+7z-12=0,x-z+4=0$. Я правильно рассуждаю? 1) для того, чтобы плоскость проходила через прямую один из векторов плоскости равен направляющему вектору прямой
2)Угол между плоскостью $x-4y-8z+1=0$ и вторым вектором искомой плоскости равен 45
3)Используя векторное произведение находим вектор нормали к этим двум векторам.

[provincialka]

Зачем п.3) ? Вы разве не сразу нормаль искали?

[redicka]

Проще такие задачи решать используя уравнение пучка плоскостей, проходящих через заданную прямую.

[dima_1985]

provincialka в сообщении #1224780 писал(а):

Зачем п.3) ? Вы разве не сразу нормаль искали?

Вы правы это лишнее.

redicka в сообщении #1224789 писал(а):

Проще такие задачи решать используя уравнение пучка плоскостей, проходящих через заданную прямую.

Вы наверно правы, в моей книге есть параграф про пучок плоскостей. Надо ознакомиться с ним.

[redicka]

При использовании уравнения пучка ищется один параметр - решается одно уравнение.

[dima_1985]

redicka
Вот попробовал ваш подход. Ур-е прямой $\frac{x+2}{5}=\frac{y}{-2}=\frac{z-2}{5}$. Уравнение пучка $2x+5y+4+p(5y+2z-4)=0$. Условие того, что угол 45 $\frac{2-20(1+p)-16p}{9\sqrt{4+25(1+p)^2+4p^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.Получил один корень $p=-1$. Получим плоскость $x-z+4=0$. Как вторую получить? Я что-то не так составил?

[StaticZero]

dima_1985 в сообщении #1224845 писал(а):

угол 45

dima_1985 в сообщении #1224845 писал(а):

Как вторую получить?

А угол $135^\circ$ (135^\circ) вам не подходит?

[redicka]

dima_1985, зачем вы выписывали уравнение прямой? Оно вам уже задано, как пересечение двух заданных плоскостей.Вот эти заданные плоскости и используйте для записи уравнения пучка.