Получить разностную схему для ДУ второго порядка

[Aleksey1995A]

Здравствуйте, мне нужно получить разностную схему интегро-интерполяционным методом.
Вот условие
$ \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r}(r \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r}) + \frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial \varphi }( \lambda \frac{ \partial U }{ \partial \varphi } ) + f(M) = 0$
Как я понял, мне дано дифференциальное уравнение второго порядка.
Нужно получить разностную схему. Вот до чего я дошел
$ \int \int (\frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r}(r \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r}) + \frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial \varphi }( \lambda \frac{ \partial U }{ \partial \varphi } ) + f(M)) \partial r \partial \varphi = 0$
Распишем как сумму интегралов.
$\int \int \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r}(r \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r})\partial r \partial \varphi + \int \int\frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial \varphi }( \lambda \frac{ \partial U }{ \partial \varphi } )\partial r \partial \varphi + \int \int f(M) \partial r \partial \varphi = 0$
Интегрируем на ячейке по двум переменным(перейдем к повторному интегралу)
$\int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r}(r \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r})\partial r \int_{ \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} \partial \varphi + \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r^{2}} \partial r \int_{ \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} \frac{ \partial }{ \partial \varphi }( \lambda \frac{ \partial U }{ \partial \varphi } ) \partial \varphi + \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \int_{ \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} f(M) \partial r \partial \varphi=0$
Можете сказать, на верном ли я пути и правильно ли всё делаю, если нет, то можете указать на ошибку.
Повторюсь, мне нужна только разностная схема.

[Aleksey1995A]

Подправил последнюю формулу
$ \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r}(r \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r}) r\partial r \int_{ \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} \partial \varphi + \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r^{2}} \partial r \int_{ \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} \frac{ \partial }{ \partial \varphi }( \lambda \frac{ \partial U }{ \partial \varphi } ) \partial \varphi + \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \int_{ \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} f(M) \partial r \partial \varphi$
Для удобства сделаем замены:
$F = -( \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r})$(1)
$W = -( \lambda \frac{ \partial U }{ \partial \varphi } ) $
$ \upsilon = \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \int_{ \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} f(M) \partial r \partial \varphi $
Я разобрался с первым интегралом...
$ \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r}(r F) r\partial r \int_{ \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} \partial \varphi$
Отсюда->
$\int_{ \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} ( r_{n- \frac{1}{2}} F_{n- \frac{1}{2}} - r_{n+ \frac{1}{2}} F_{n+ \frac{1}{2}})\partial \varphi$, что в свою очередь равно
$ \Delta [ \sigma ( r_{n- \frac{1}{2}} \widehat{F}_{n- \frac{1}{2}} -r_{n+ \frac{1}{2}} \widehat{F}_{n+ \frac{1}{2}}) + (\sigma - 1)(r_{n- \frac{1}{2}} F_{n- \frac{1}{2}} -r_{n+ \frac{1}{2}} F_{n+ \frac{1}{2}})]$(2)

-- 13.06.2017, 05:44 --

Завершу решение первого интеграла.
(2) я получил с помощью двухточечной квадратурной формулы с весами $ \sigma$ и $\sigma - 1$.
F- это поток, проинтегрируем его(формула (1))
$ \int_{r_n}^{r_{n+1}} \frac{\partial U} { \partial r} \partial r = - \int_{r_n}^{r_{n+1}} \frac{F}{\lambda}\partial r$
$ u_{n} - u_{n+1} = F_{n + \frac{1}{2} } \int_{r_n}^{r_{n+1}} \frac{1}{\lambda}\partial r $
$F_{n + \frac{1}{2} } \approx k_{n + \frac{1}{2} } \frac{u_{n} - u_{n+1} }{h} $.
Аналогично находим $F_{n - \frac{1}{2} }, \widehat{F_{n - \frac{1}{2} }}, \widehat{F_{n + \frac{1}{2} }} $
А вот со вторым интегралом не знаю что делать из-за присутствующего $ \frac{1}{r^{2}} $.
Можете помочь?