Тензорный закон преобразования

[Men007]

Тензор $T$ задан в системе координат ${x}^{i}$ координатами $ {T}_{111}=1, {T}_{112}=2, {T}_{121}=-1, {T}_{122}=2, {T}_{211}=1, {T}_{212}=-1$, ${T}_{221}=-2, {T}_{222}=3$.

Используя тензорный закон преобразования, преобразовать эти числа к системе координата {$ {x}^{i'}={C}_{i}^{i'}{x}^{i}$},
где $C=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \sqrt{2} & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{bmatrix}$.

Решение:
1) Тензорный закон преобразования:
${T}_{{i'}_{1}...{i'}_{p}}^{{j'}_{1}...{j'}_{q}}={C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}...{C}_{{i'}_{p}}^{{i}_{p}}{C}_{{j}_{1}}^{{j'}_{1}}{C}_{{j}_{2}}^{{j'}_{2}}...{C}_{{j}_{q}}^{{j'}_{q}}{T}_{{i}_{1}...{i}_{p}}^{{j}_{1}...{j}_{q}}$.
2) $C = {C}_{i}^{i'}$, тогда ${C}^{-1}={C}_{i'}^{i}$
то есть ${C}_{i'}^{i}={C}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} \end{bmatrix}$.
3) А вот как делать дальше я не совсем понимаю.

[svv]

Проблема в том, что Вы не понимаете смысла правой части закона преобразования? не знаете, что куда подставлять? Или, скорее, в том, что всё это очень громоздко?
Чему равно $C^1_{2'}$ ?

[Munin]

Men007 в сообщении #1224399 писал(а):

1) Тензорный закон преобразования:
${T}_{{i'}_{1}...{i'}_{p}}^{{j'}_{1}...{j'}_{q}}={C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}...{C}_{{i'}_{p}}^{{i}_{p}}{C}_{{j}_{1}}^{{j'}_{1}}{C}_{{j}_{2}}^{{j'}_{2}}...{C}_{{j}_{q}}^{{j'}_{q}}{T}_{{i}_{1}...{i}_{p}}^{{j}_{1}...{j}_{q}}$.

Для начала, перепишите эту формулу для вашего тензора $T_{i_1 i_2 i_3}.$

[Men007]

Munin
Я так понимаю, что в моем случае тензорный закон преобразования имеет вид:
${T}_{{i'}_{1}...{i'}_{3}}={C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}{C}_{{i'}_{3}}^{{i}_{3}}{T}_{{i}_{1}...{i}_{3}}$.
Однако, что из себя представляют ${C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}{C}_{{i'}_{3}}^{{i}_{3}}$ я не могу понять. Это элементы матрицы ${C}^{-1}$? Но как тогда понять где какой, ведь в формуле верхний и нижний индексы отличаются лишь на штрих (то есть я не могу определить расположение элемента в матрице)? Или может быть это сами матрицы?

-- 12.06.2017, 16:10 --

svv,
Я не могу понять, что из себя представляют ${C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}{C}_{{i'}_{3}}^{{i}_{3}}$. Это элементы матрицы ${C}^{-1}$? Но как тогда понять где какой, ведь в формуле верхний и нижний индексы отличаются лишь на штрих (то есть я не могу определить расположение элемента в матрице)? Или может быть это сами матрицы?

[Munin]

Men007 в сообщении #1224610 писал(а):

Я так понимаю, что в моем случае тензорный закон преобразования имеет вид:
${T}_{{i'}_{1}...{i'}_{3}}={C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}{C}_{{i'}_{3}}^{{i}_{3}}{T}_{{i}_{1}...{i}_{3}}$.

Это правильно. Только многоточие не нужно :-) Ведь у вас всего-то три индекса. Их даже часто обозначают попроще:

$T_{i'j'k'}=C_{i'}^{i}C_{j'}^{j}C_{k'}^{k}T_{ijk}.$

[Men007]

Munin,
Это понятно. Но вот как дальше с этой формулой работать?
Что из себя представляют ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$. Это элементы матрицы ${C}^{-1}$? Но как тогда понять где какой, ведь в формуле верхний и нижний индексы отличаются лишь на штрих (то есть я не могу определить расположение элемента в матрице)? Или может быть это сами матрицы?

[Munin]

Здесь бывают разные соглашения, и вам нужно смотреть на ваш конкретный учебник / методичку / лекции / задачник.

[arseniiv]

Men007 в сообщении #1224655 писал(а):

Что из себя представляют ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$.

Ну, во-первых, давайте посмотрим, сколько у этой величины компонент. У неё $2^6 = 64$ компонент (индекс принимает два значения, всего их тут 6). Фактически эти компоненты образуют шестимерную «матрицу», но эту самую штуку ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$ и не нужно мыслить как-то отдельно — она сворачивается с $T_{ijk}$, и $C_{i'}^{i}C_{j'}^{j}C_{k'}^{k}T_{ijk}$ — это уже только $2^3 = 8$ компонент (результирующего тензора, собственно). Это обозримо, их можно каждую выписать.

Насчёт смысла этих штук: вспомните как преобразуются от базиса к базису векторы, ковекторы, линейные операторы, билинейные формы. Перепишите всё в этих обозначениях. Вы увидите, что там уже будут случаи, где по два раза входят компоненты матрицы перехода $C$, и что в обычном виде формул это никак не упрощается. Это просто «применение» матрицы перехода к каждой компоненте тензора единственно верным способом — и чтобы свёртка была корректной, и чтобы вариантность индексов у новых координат тензора была такой же как у старых. Общий вид формулы это может маскировать, но тут уж ничего не поделаешь — более просто не запишешь.

[Men007]

arseniiv,
Как я вас понял, эти символы ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$ представляют собой матрицу перехода, просто она расписана в более удобной форме (в форме, которая показывает «применение» матрицы перехода к каждой компоненте тензора единственно верным способом). Следовательно, для моей задачи решение примет вид:
$ {T}_{1'1'1'}={C}^{-1}{T}_{111}$ $=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} \end{bmatrix} 1$ $= \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix}$.

$ {T}_{1'1'2'}={C}^{-1}{T}_{112}$ $=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} \end{bmatrix} 2$ $= \begin{bmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} \end{bmatrix}$ .
и т. д. ?

[Munin]

Ужос.

Если у вас один вектор, и вы применяете к нему матрицу перехода, то можно ли считать по очереди переход первой координаты вектора в первую координату нового вектора, второй - во вторую, и так далее?

[Men007]

Munin,

Munin в сообщении #1224748 писал(а):

можно ли считать по очереди переход первой координаты вектора в первую координату нового вектора, второй - во вторую, и так далее?

Нельзя.

В таком случае, я опять не понимаю, что такое ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$. Откуда это брать и как использовать.

[arseniiv]

Men007
Давайте я вам компоненту $T_{1'1'1'}$ распишу:

$$\begin{align} T_{1'1'1'} &= \sum_{i,j,k = 1}^2 C_{1'}^i C_{1'}^j C_{1'}^k T_{ijk} = \\ &= C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{1'}^1 T_{111} + C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{1'}^2 T_{112} + \\ &+ C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{1'}^1 T_{121} + C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{1'}^2 T_{122} + \\ &+ C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{1'}^1 T_{211} + C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{1'}^2 T_{212} + \\ &+ C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{1'}^1 T_{221} + C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{1'}^2 T_{222}. \end{align}$$

Если вы хотите «умножать» шестимерную матрицу на трёхмерную — флаг вам в руки, но никто это так не представляет, потому что у тензоров высших валентностей слишком много вариантов таких умножений (билинейных операций, совместимых с умножением скаляров) — не то что у векторов и линейных операторов (у последних уже два: обычное $A^i{}_jB^j{}_k$ (плюс то же в обратном порядке $A^i{}_jB^k{}_i$) и «тензорное» $A^i{}_jB^k{}_\ell$ (плюс во всевозможных других порядках аргументов одинаковой вариантности, тут их всего $2!2! = 4$).

-- Пн июн 12, 2017 23:28:37 --

Вообще тензоры красны, конечно, не законом преобразования, а инвариантным определением, которое его не включает, но если его вам не давали, то, видимо, давать его и не стоит. Хотя можете посмотреть его у Кострикина («Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра», глава «Тензоры»; инвариантных определений не одно, но все они (разумеется) эквивалентны).

[Munin]

Men007 в сообщении #1224752 писал(а):

В таком случае, я опять не понимаю, что такое ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$. Откуда это брать и как использовать.

Это тензорное произведение трёх матриц перехода.

Вообще, вам лучше не ломать голову над сущностью этого дикого предмета. Никакой роли он не играет. Вам стоило бы мыслить скорее в таком ключе:

$T_{i'j'k'}=C_{i'}^{i}C_{j'}^{j}C_{k'}^{k}T_{ijk}=C_{i'}^{i}(C_{j'}^{j}(C_{k'}^{k}T_{ijk})),$

и воспринимать $C_{k'}^{k}T_{ijk}$ как новый тензор с тремя нижними индексами: $T_{ijk'},$ и так далее. Каждая матрица действует на тензор, на один из его индексов, и переводит к новой системе координат. Остальные индексы она не трогает вообще (вот тут как раз сработает ваша идея, что $T_{11k'}=C_{k'}^{k}T_{11k},$ и так далее). Когда все матрицы переведут к новой системе координат все индексы, дело будет сделано.

[Men007]

arseniiv
Большое спасибо, теперь начинаю что-то понимать.

Для компоненты $T_{1'1'2'}$ имеем:

$$\begin{align} T_{1'1'2'} &= \sum_{i,j = 1,k = 2}^2 C_{1'}^i C_{1'}^j C_{2'}^k T_{ijk} = \\ &= C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{2'}^1 T_{111} + C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{2'}^2 T_{112} + \\ &+ C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{2'}^1 T_{121} + C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{2'}^2 T_{122} + \\ &+ C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{2'}^1 T_{211} + C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{2'}^2 T_{212} + \\ &+ C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{2'}^1 T_{221} + C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{2'}^2 T_{222}. \end{align}$$

, где $C_{1'}^i C_{1'}^j C_{2'}^k$ - это элементы матрицы ${C}^{-1}$?

-- 12.06.2017, 22:58 --

(Нижний индекс - строка, верхний - столбец)

[arseniiv]

Munin в сообщении #1224773 писал(а):

и воспринимать $C_{k'}^{k}T_{ijk}$ как новый тензор с тремя нижними индексами: $T_{ijk'},$ и так далее.

Это как раз математически очень хитрая штука должна быть: координаты частично в одном базисе и частично в другом. Смысл её понять может быть ещё сложнее… (Хотя не, что это я — если считать это просто наборами координат, то всё просто. Если считать это [ещё и] абстрактной индексной записью, представляющей тензор — вот тогда всё в силе.)

Men007 в сообщении #1224774 писал(а):

где $C_{1'}^i C_{1'}^j C_{2'}^k$ - это элементы матрицы ${C}^{-1}$

Вообще я не следил пока аккуратно, как у вас определяется матрица перехода, но в любом случае это либо элементы $C$, либо элементы $C^{-1}$ в зависимости от того, где стоят штрихованные индексы, а где простые. Вывести из первых принципов можно, применив преобразование координат к вектору: $v^{i'} = C^{i'}_i v^i$. Если в матричной записи матрица перехода здесь используется необращённая, значит, $C^{i}_{i'}$ — компоненты обращённой.