2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти предел периметра ломаной
Сообщение11.06.2017, 18:20 


24/05/17
64
Здравствуйте. В перерывах между ЕГЭ не торопясь готовлюсь к математическому анализу. Прорешиваю Демидовича для ВТУЗов.
Найти предел при $n\to\infty$ периметра ломаной $M_0 M_1 \ldots M_n$, вписанной в логарифмическую спираль $r=e^{-\varphi}$, если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные углы $\varphi_0=0,\varphi_1=\frac{\pi}{2}, \ldots ,\varphi_n=\frac{n\pi}{2}$
График нарисовал. По точкам кратным $\frac{\pi}{2}$ ломанную построил.
http://s019.radikal.ru/i617/1706/d2/3cf312ff53c4.png
Длины сегментов $$\sum\limits_{x=0}^{n} e^{-x\frac{\pi}{2}}= \frac{1-e^{-n\frac{\pi}{2}}}{1-e^{-\frac{\pi}{2}}}$$, что в при $n\to\infty$ даёт $\frac{1}{1-e^{-\frac{\pi}{2}}} = 1.26243$.
В ответе $\frac{\sqrt{e^{\pi}+1}}{e^{\frac{\pi}{2}}-1}=1.28942$. Немного промахнулся.
Какими путями они пришли к такому ответу?
P.S
Правильно было бы взять $\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}$$\sqrt{(\frac{d}{dx}e^{-x})^{2}+(e^{-x})^2}dx$? Я его взял $ \sqrt{2}e^{-x}$. Он равен численно $1.40151$
Заранее благодарен за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел периметра ломаной
Сообщение11.06.2017, 19:58 


24/05/17
64
Разобрался.
Посмотрел длины сегментов в ДСК, потом составил их сумму. Получилась вот такая штука $\sqrt{e^{\pi}+1}(e^{-\frac{\pi}{2}}+e^{-\pi}+e^{-\frac{3\pi}{2}}+\ldots)$. Сумма первых членов этой прогрессии равна $S=\frac{1}{e^\frac{\pi}{2}-1}$. Следовательно, вся длинна равна $\frac{\sqrt{e^{\pi}+1}}{e^\frac{\pi}{2}-1}$
Вопрос в другом теперь. Эта формула - грубый аналог длинны дуги в полярных координатах? Считаем по "избранным" хорошим углам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел периметра ломаной
Сообщение11.06.2017, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
PlotF в сообщении #1224387 писал(а):
Эта формула - грубый аналог длинны дуги в полярных координатах?
Можно ответить «да», в том смысле, что предел бесконечной суммы длин сегментов (при стремлении угла между соседними вершинами к нулю) равен длине дуги. Только, по-моему, этот предел особого отношения к полярным координатам не имеет. Мы вынуждены их использовать в начале, потому что в них задана кривая. Дальше надо найти координаты вершин и длины сегментов. Тут можно использовать и декартовы координаты (в этой задаче это даже удобнее), на результат это не влияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел периметра ломаной
Сообщение11.06.2017, 22:49 


24/05/17
64
svv
Спасибо за пояснение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group