Найти предел периметра ломаной

[PlotF]

Здравствуйте. В перерывах между ЕГЭ не торопясь готовлюсь к математическому анализу. Прорешиваю Демидовича для ВТУЗов.
Найти предел при $n\to\infty$ периметра ломаной $M_0 M_1 \ldots M_n$, вписанной в логарифмическую спираль $r=e^{-\varphi}$, если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные углы $\varphi_0=0,\varphi_1=\frac{\pi}{2}, \ldots ,\varphi_n=\frac{n\pi}{2}$
График нарисовал. По точкам кратным $\frac{\pi}{2}$ ломанную построил.
http://s019.radikal.ru/i617/1706/d2/3cf312ff53c4.png
Длины сегментов

$$\sum\limits_{x=0}^{n} e^{-x\frac{\pi}{2}}= \frac{1-e^{-n\frac{\pi}{2}}}{1-e^{-\frac{\pi}{2}}}$$

, что в при $n\to\infty$ даёт $\frac{1}{1-e^{-\frac{\pi}{2}}} = 1.26243$.
В ответе $\frac{\sqrt{e^{\pi}+1}}{e^{\frac{\pi}{2}}-1}=1.28942$. Немного промахнулся.
Какими путями они пришли к такому ответу?
P.S
Правильно было бы взять $\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}$$\sqrt{(\frac{d}{dx}e^{-x})^{2}+(e^{-x})^2}dx$? Я его взял $ \sqrt{2}e^{-x}$. Он равен численно $1.40151$
Заранее благодарен за помощь!

[PlotF]

Разобрался.
Посмотрел длины сегментов в ДСК, потом составил их сумму. Получилась вот такая штука $\sqrt{e^{\pi}+1}(e^{-\frac{\pi}{2}}+e^{-\pi}+e^{-\frac{3\pi}{2}}+\ldots)$. Сумма первых членов этой прогрессии равна $S=\frac{1}{e^\frac{\pi}{2}-1}$. Следовательно, вся длинна равна $\frac{\sqrt{e^{\pi}+1}}{e^\frac{\pi}{2}-1}$
Вопрос в другом теперь. Эта формула - грубый аналог длинны дуги в полярных координатах? Считаем по "избранным" хорошим углам.

[svv]

PlotF в сообщении #1224387 писал(а):

Эта формула - грубый аналог длинны дуги в полярных координатах?

Можно ответить «да», в том смысле, что предел бесконечной суммы длин сегментов (при стремлении угла между соседними вершинами к нулю) равен длине дуги. Только, по-моему, этот предел особого отношения к полярным координатам не имеет. Мы вынуждены их использовать в начале, потому что в них задана кривая. Дальше надо найти координаты вершин и длины сегментов. Тут можно использовать и декартовы координаты (в этой задаче это даже удобнее), на результат это не влияет.

[PlotF]

svv
Спасибо за пояснение.