введя комплексные экспоненты как множители для токов
Это неправда. Никакие множители не вводятся. Рассматриваются не просто цепи переменного тока, а цепи переменного синусоидального тока. Для них напряжения между любыми двумя узлами и токи в любых ветвях изменяются по гармоническому закону, поэтому могут быть представлены в виде, скажем для тока,

, где

- комплексная амплитуда.
Потом, учитывая, что если комплексное решение удовлетворяет системе линейных уравнений, то отдельно его действительная и мнимая части удовлетворяют этой системе, токи и/или напряжения подставляются в систему линейных дифференциальных уравнений цепи в виде

(формально цепь рассматривается при воздействии комплексного гармонического сигнала), после чего множители

можно будет исключить и получить СЛАУ относительно комплексных амплитуд.
Есть активное сопротивление- резистор, емкостное (зависит от ёмкости и частоты колебаний) и индуктивное (индуктивность и частота колебаний). А что такое комплексное сопротивление тогда?
Рассматриваем, скажем, ёмкостный элемент. Он описывается дифференциальным уравнением

, где

- ток через ёмкостный элемент,

- напряжение на ёмкостном элементе,

- ёмкость. Гармонические напряжение и ток запишем в виде

,

. Соответствующие им комплексные гармонические напряжение и ток

,

, где

,

- комплексные амплитуды тока и напряжения.
Рассмотрим ёмкостный элемент при воздействии комплексного гармонического сигнала, тогда его дифференциальное уравнение перепишем в виде:

или

Получили, что комплексная амплитуда напряжения пропорциональна комплексной амплитуде тока, аналогично тому, как были связаны между собой напряжение и ток на резистивном элементе. Связь эту называют законом Ома в комплексной форме, а коэффициент пропорциональности между комплексной амплитудой тока и напряжения называют комплексным сопротивлением:

и

Аналогично можно рассмотреть и индуктивный элемент. Комплексное сопротивление вводится формально и также формально его и следует понимать.