решить уравнение

[daogiauvang]

Решить уравнение с положительными целыми числами: $3^x 5^y+1=z(3z+2)$

[Aritaborian]

E. g., $(1;1;2)$.

[Shadow]

Дискриминант квадратного уравнения относительно $z$

$4+3^{x+1}\cdot 5^y=d^2$

$(d-2)(d+2)=3^a\cdot 5^b$

Откуда $3^a-5^b=\pm 4$

1) $3^a-5^b=4$

По модулю 4 $a$ четное $(3^k-2)(3^k+2)=5^b$, множители не могут быть одновременно кратные пяти, едиственное решение $k=1\cdots$

2) $3^a-5^b=-4$

По модулю 3 $b$ четное, опять разность квадратов - решений нет.
Единственное решение $x=1,y=1,z=2$