Для

определим "естественный" частичный порядок как

.
Произвольное конечное частично упорядоченное множество

будем называть уложимым в

если существует изоморфизм

такой, что

(конечно,

в левой части - это заданный порядок на множестве

, а в правой - определённый "естественный порядок").
Я задумался о том, насколько маленьким может быть множество

чтобы оно гарантированно было уложимо в

.
Контрпример с

для

строится относительно легко - это множество

, где

, а остальные пары элементов между собой не сравнимы.
Таким образом, нижняя граница требуемой размерности -

(верхней границей легко получить

- просто взять ортогональный базис и перенести в каждую вершину координаты из всех вершин, которые меньше неё).
Возникает вопрос, нижняя ли это граница. То есть: верно ли, что если

, то его частичный порядок уложим в

?
Пытался доказать по индукции, обобщая очевидное индукционное доказательство для размерности

- то есть добавляя по две точки в множество и "растягивая его по третьей координате". Пытался добавлять две максимальные точки, пытался максимальную и минимальную, в обоих случаях деля предыдущее множество на четыре части по достижимости из двух новых элементов - никак общим образом не решается, возникают конфликты и зацикливания.
Кому интересно, давайте думать вместе.