2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача по планиметрии (трапеция)
Сообщение23.05.2008, 17:36 
На старом дряхлом листе бумаги увидел условие задачи.

"Имеется трапеция с основаниями $a$ и $2a$.
На ее боковых сторонах как на диаметрах, проведены две окружности, имеющие внешнюю точку касания.
Определить площадь трапеции".

Стало интересно, можно ль решить ее в таком виде или что-то на листе стерлось?

 
 
 
 Re: Задача по планиметрии.
Сообщение23.05.2008, 17:44 
Батороев писал(а):
На старом дряхлом листе бумаги увидел условие задачи.

"Имеется трапеция с основаниями $a$ и $2a$.
На ее боковых сторонах как на диаметрах, проведены две окружности, имеющие внешнюю точку касания.
Определить площадь трапеции".

Стало интересно, можно ль решить ее в таком виде или что-то на листе стерлось?

естественно, можно. Уведите маленькое основание далеко-далеко ввысь от большого. Те самые две окружности начнут совершенно наглым образом пересекаться.

 
 
 
 
Сообщение23.05.2008, 18:00 
Это понятно, что окружности будут пересекаться.
А если не уводить маленькое основание и касание все же есть, то на основании чего площадь считать то?
Если бы было сказано, что обе окружности одного диаметра, то задача была бы плевой. Но ведь нет этого.

 
 
 
 
Сообщение23.05.2008, 18:04 
а-а, да, возможно, понял.

Наверняка подразумевалось, что трапеция равнобедренна.

А если не обязательно, то тут надо думать, но лень.

 
 
 
 
Сообщение23.05.2008, 18:11 
Мне тоже кажется, что равнобедренность трапеции каким то образом требуется доказать.
Но у меня что-то не получается :(

 
 
 
 
Сообщение23.05.2008, 18:14 
Аватара пользователя
Может быть и другое: площадь результата не зависит от равнобочия трапеции. Но тут да, надо думать, но лень.

 
 
 
 
Сообщение23.05.2008, 18:19 
Видно, невовремя я задачку предложил.
ПЯТНИЦА!!! :D

 
 
 
 
Сообщение23.05.2008, 21:13 
Аватара пользователя
Всё, прорубил фишку. Данных действительно недостаточно.

Пусть $A$ и $D$ --- произвольные точки плоскости, расстояние между которыми равно $2a$. Рассмотрим эллипс $\mathcal{E}$ с фокусами $A$ и $D$, такой что для произвольной точки $X$ на плоскости

$$
X \in \mathcal{E} \Leftrightarrow |XA|+|XD| = 6a
$$

Выберем произвольную точку $E \in \mathcal{E}$, не лежащую на прямой $(AD)$. Пусть $B$ есть середина отрезка $[EA]$, а $C$ --- середина отрезка $[ED]$. Тогда $ABCD$ --- трапеция, для которой $|BC|=a$. Далее, пусть $F$ есть середина $[AB]$, а $G$ --- середина $[CD]$. Имеем

$$
|AF| + |GD| = \frac{|AE|+|ED|}{4} = \frac{3a}{2} = \frac{|AD|+|BC|}{2} = |FG|
$$

Если $\mathcal{O}_1$ --- окружность с диаметром $[AB]$, а $\mathcal{O}_2$ --- окружность с диаметром $[CD]$, то $F$ --- центр $\mathcal{O}_1$, $G$ --- центр $\mathcal{O}_2$ и расстояние между этими центрами равно сумме радиусов этих окружностей. Ну а это как раз и означает, что окружности $\mathcal{O}_1$ и $\mathcal{O}_2$ имеют внешнюю точку касания.

Таким образом, трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

С другой стороны,

$$
S_{ABCD} = \frac{3}{4} S_{\triangle AED}
$$

Ну а площадь треугольника $AED$ очевидным образом зависит от выбора точки $E$ и может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 2\sqrt{2}a^2]$.

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 15:16 
P.S.
Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 05:17 
Аватара пользователя
Отличное решение! 8-)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group