Задача с параметром из ЕГЭ

[stedent076]

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение
$\sqrt{2x-1}\ln(5x+a)=\sqrt{2x-1}\ln(4x-a) (1)$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$
Мое решение:
$\sqrt{2x-1}\ln(5x+a)=\sqrt{2x-1}\ln(4x-a)$ Равносильно совокупности (тут нет символа совокупности, поэтому я пишу словами):
$\sqrt{2x-1}=0\Rightarrow x=0,5$ или $\ln(5x+a)=\ln(4x-a)\Rightarrow x=-2a$
Видно, что уравнение (1) всегда имеет решение на отрезке $[0,1]$ это решение $x=0,5$. Для выполнения условия задачи нужно, чтобы уравнение $\ln(5x+a)=\ln(4x-a)$ не имело решения на отрезке $[0,1]$. Т.к. $x=-2a$ и

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &x>1& \\ &x<0& \\ \end{array} \right.$$

то

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &-2a>1& \\ &-2a<0& \\ \end{array} \right.$$

Отсюда $a\in (-\infty; -0,5)\cup (0;+\infty)$
Правильно ли я решил и сколько баллов я получу за такое решение? Заранее спасибо)

[Mihr]

stedent076 в сообщении #1221717 писал(а):

Для выполнения условия задачи нужно, чтобы уравнение $\ln(5x+a)=\ln(4x-a)$ не имело решения на отрезке $[0,1]$

Или чтобы решения двух уравнений совпали.
Насчёт количества баллов - судить не берусь.

[VAL]

stedent076 в сообщении #1221717 писал(а):

Видно, что уравнение (1) всегда имеет решение на отрезке $[0,1]$ это решение $x=0,5$.

Возьмите, например, $a=4$. Подставьте это значение в исходное уравнение и убедитесь, что оно не будет иметь решений на отрезке $[0;1]$.

[stedent076]

VAL
если логарифмы определены, конечно же)

-- 03.06.2017, 09:14 --

Mihr
да, Вы правы

[Padawan]

Получите ноль баллов. Ни один из двух случаев ($\sqrt{2x-1}=0$ или равенство логарифмов) правильно не рассмотрен, случай совпадения корней не проанализирован. Вроде за неё максимум три балла.

[stedent076]

Padawan

Padawan в сообщении #1221825 писал(а):

вроде за неё максимум три балла.

четыре

Padawan в сообщении #1221825 писал(а):

Ни один из двух случаев ($\sqrt{2x-1}=0$ или равенство логарифмов) правильно не рассмотрен,

Почему они рассмотрены неправильно?

[Padawan]

Потому что еще должно выполнятся условие, что подлогарифмические выражения больше нуля.

[Someone]

stedent076 в сообщении #1221831 писал(а):

Почему они рассмотрены неправильно?

Потому что область определения уравнения не учитываете.

[stedent076]

Padawan
Someone
Ок, я согласен

[provincialka]

О! я как раз этот вариант сегодня проверяла. Максимум -- 4 балла, но тут будет 0. По критерию 1 балл дается, если правильно разобран хотя бы один случай (один "пункт" совокупности)

[VAL]

Чтобы ТС не расстраивался замечу:
Никто из опрошенных мной коллег (включая меня) не поставил за эту задачку больше двух баллов. Да и два балла были поставлены всего единожды. А так - кресты, нули и редкие единички.

[provincialka]

А я поставила! Один раз из 200 работ. Ну, может, я слишком добрая.. есть такой грех...