Необычное определение простого числа

[Mikhail_K]

Gagarin1968 в сообщении #1221620 писал(а):

Я ж говорю, что поменяется арифметика.

Ещё раз: ничего не поменяется. Может быть, в некоторых теоремах надо будет заменить слова "для каждого простого числа" на "для каждого неотрицательного простого числа", "для каждого делителя" - на "для каждого неотрицательного делителя", и т.д.

[sergei1961]

На самом деле делители мы сами считаем целыми, даже если определяемым их положительными. Вот я говорю, когда учу правилу нахождения целого корня, "выпишем делители свободного члена 6, это список такой $\pm1,\pm2,\pm3\pm6$"... Разве другие говорят и объясняют не так? Часто отступаем от формальных определений, когда это удобно или просто стало традицией, но всё понятно и не приводит к ошибкам.

[demolishka]

Gagarin1968 в сообщении #1221624 писал(а):

как-то это искусственно, я бы даже сказал, противоестественно.

Почитайте любой учебник по теории групп вплоть до теорем Лагранжа, Эйлера, Ферма. Можете и на википедии посмотреть, если знакомы с понятием группы.

[Someone]

Gagarin1968 в сообщении #1221599 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1221597 писал(а):

Некоторый минус такого допущения - становится неединственным разложение на простые множители.

Ну да, не выполняется основная теорема арифметики. И я перечитал учебники, и ни у Бухштаба, ни у Арнольда, ни у Виноградова ничего подобного нет.

В области целостности (ассоциативно-коммутативном кольце с единицей и без делителей нуля) также вводится понятие простого числа: элемент $a$ называется простым, если он не является обратимым (в этой области математики обратимые элементы почему-то часто называются единицами, но М. М. Постников утверждает, что эта традиция постепенно ослабевает), и во всяком представлении его в виде произведения $a=bc$ один из множителей является обратимым. Два элемента $a$ и $b$ называются ассоциированными, если существует такой обратимый элемент $c$, что $a=bc$.

В этой ситуации единственность разложения на простые множители понимается с точностью до замены простых чисел на ассоциированные и добавления обратимых множителей.

Gagarin1968 в сообщении #1221595 писал(а):

"As is known, the integer $p\in \mathbb{Z}$ is said to be a prime number if it has exactly $4$ divisors, namely $\pm 1 and \pm p$".

При таком определении простых чисел в кольце $\mathbb Z$ возникает как раз описанная ситуация. Обратимых элементов ("единиц") здесь две штуки ($\pm 1$), простые числа $p$ и $-p$ являются ассоциированными.