Наследственность в мирах

[Sinoid]

Здравствуйте! Развейте, пожалуйста, мои сомнения. Читаю у Верещагина, Шеня про модели Крипке. Это же область истинности наследственна вверх только у переменных, для формул же это утверждение неверно? Хотя ерунда какая-то получается: в силу индуктивного определения это утверждение верно и для произвольных формул.

[arseniiv]

(Не забудьте добавить «интуиционистской логики», а то есть модели Крипке модальных логик и тому подобные. (UPD: хотя чего это я, там же всё примерно то же самое.))

-- Чт июн 01, 2017 02:56:05 --

Sinoid в сообщении #1220713 писал(а):

Это же область истинности наследственна вверх только у переменных, для формул же это утверждение неверно? Хотя ерунда какая-то получается: в силу индуктивного определения это утверждение верно и для произвольных формул.

Да, и авторы это прямо ниже замечают:

Цитата:

Индукцией по построению формулы $A$ легко проверить, что если она истинна в каком-то мире, то истинна и во всех бо́льших мирах. В самом деле, <эскиз доказательства>

-- Чт июн 01, 2017 02:57:12 --

Иначе говоря, то, что когда-то открыли, уже не закроют. (См. комментарий к смыслу моделей Крипке.)

[Sinoid]

Если это определение ложности формулы $A$, то как здесь

внизу переменная $p$ ложная в меньшем мире, может быть истинной в большем?

[mihaild]

Если под ложность понимать истинность отрицания, то неверно, что $p$ ложна в меньшем мире.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1221230 писал(а):

Если под ложность понимать истинность отрицания, то неверно, что $p$ ложна в меньшем мире.

А тогда что верно? Значение Н-то существует не в мирах, а над ними.

[mihaild]

В смысле - "что верно"?
Есть миры. В каждом мире каждая переменная может быть (истинной), а может не быть. Если переменная есть в каком-то мире, то она есть и во всех достижимых из него.
Кроме атомарных, в мире могут быть и какие-то другие формулы. Причем есть ли в мире данная формула - зависит не только от того, какие переменные есть в данном мире, но и какие переменные есть в достижимых мирах.
И в данном мире может не быть ни формулы $p$, ни формулы $\neg p$.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1221527 писал(а):

В каждом мире каждая переменная может быть (истинной), а может не быть

Обозначим мир через $u$, а переменную через $p$. Запись $u\Vdash\neg p$ и предложение "В мире $u$ отсутствует переменная $p$" имеют разный смысл?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1221656 писал(а):

Запись $u\Vdash\neg p$ и предложение "В мире $u$ отсутствует переменная $p$" имеют разный смысл?

Да.
У нас каждому миру $u$ сопоставлено множество $A_u$ формул, которые в нем есть (для атомарных формул задается интерпретацией, остальные определяются по ней).
"В мире $u$ отсутствует $p$" означает $p \notin A_u$
$u \Vdash \neg P$ означает $\forall w \geqslant u: p \notin A_w$

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1221230 писал(а):

Если под ложность понимать истинность отрицания

mihaild в сообщении #1221527 писал(а):

Есть миры. В каждом мире каждая переменная может быть (истинной), а может не быть

Это означает, что предложение "формула $a$ ложна в мире $A$" означает, что в мире $A$ присутствует формула $\neg a$ и это предложение отлично от

mihaild в сообщении #1221660 писал(а):

$u \Vdash \neg P$ означает $\forall w \geqslant u: p \notin A_w$

Верно?

[mihaild]

Открыл истончик на всякий случай

Верещагин, Шень, с. 65 писал(а):

Таким образом, чтобы доказать, что некоторая формула не выводима в интуиционистском исчислении высказываний, достаточнопредъявить шкалу Крипке, в одном из миров которой она ложна.

.
Тут под "ложностью" явно понимается "формула отсутствует в мире" (а не "присутствует отрицание"), с чем приведенное мной выше определение не согласуется.
Предлагаю перейти на определение от более умных людей.

Тогда утверждения "в мире отсутствует формула" и "в мире присутствует отрицание формулы" становятся различными.

А вот "в мире $A$ присутствует $\neg a$" - это просто словесная запись $A \Vdash \neg a$, всегда.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1221760 писал(а):

всегда.

В смысле $\neg a$ присутствует в мирах, не меньших мира $A$?

[arseniiv]

Просто в мире $A$. То, что оно присутствует и в мирах, не меньших мира $A$, как и для любой составной формулы — следствие.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1222093 писал(а):

То, что оно присутствует и в мирах, не меньших мира $A$, как и для любой составной формулы — следствие.

Тогда пункт 4 индуктивного определения

является некорректным или как?

[arseniiv]

Ну почему? Пусть $w\Vdash\neg\varphi$. Тогда ни в каком из $w'>w$ не $w'\Vdash\varphi$. Значит, возьми мы какой-то конкретный $w'>w$, для всех $w''\geqslant w'$ не $w''\Vdash\varphi$, и потому $w'\Vdash\neg\varphi$.

Всё сходится, и это, собственно, как раз ведь шаг той индукции из доказательства того, что если $w\Vdash\varphi$ и $w'\geqslant w$, то $w'\Vdash\varphi.$

Можете написать подробнее, где вы видите противоречия и что конкретно на этом этапе осталось непонятным?

-- Вс июн 04, 2017 23:45:21 --

(Можно для самой ясной ясности ещё попробовать рисовать ациклические ориентированные графы, вершины которых — миры и $u\leqslant v$ равносильно тому, что из мира $u$ в мир $v$ есть путь. В вершине при этом могут лежать сколько-то атомов (можно рисовать вершины пустыми кругами и вписывать туда буквы), при этом обязательно все атомы из вершины «протекают» во все вершины, в которые из неё можно попасть. Потом можно подписывать около миров формулы, истинные в них.)

[Sinoid]

Разве пункт 4 индуктивного определения не будет следовать из такого определения:

$w\Vdash\neg A$, если в мире $w$ формула $A$ не истинна

? Ведь в этом определении не утверждается, что формула $A$ в мире $w$ ложна (отсутствует), в этом определении есть символы $w\Vdash$, смысл которых состоит в том, что они утверждают, что в мире $w$ присутствует нечто, связанное с формулой $A$, и, значит, ввиду требований, предъявляемых к $\Vdash$, это нечто будет присутствовать и в мирах, больших чем $w$. Т.е. получается, что пункт 4 индуктивного определения из книги будет следовать из определения, сформулированного в этом сообщении.