Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного

[eugrita]

Всю жизнь считал что относительная погрешность произведения и частного двух или нескольких приближенных величин равна сумме их относительных погрешностей
$\delta (x \cdot y)= \delta (\frac{x}{y}) =\delta x+ \delta y$
но недавно столкнулся с методичкой из МВТУ
А. И. Савельев, И. Н. Фетисов Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента
где фактически сказано что относительная погрешность произведения и частного двух приближенных величин равна корню их суммы квадратов их относительных погрешностей
$\delta (x \cdot y)= \delta (\frac{x}{y})=\sqrt {(\delta x)^2+ (\delta y)^2 }$
первая формула легко доказывается рассмотрением абсолютных погрешностей.
Какие причины приведения 2-й формулы?

[provincialka]

Действительно, странно... Более точное равенство дает нам
$\delta (x \cdot y)= \delta (\frac{x}{y}) =\delta x+ \delta y +\delta x\delta y$
В то время как
$\sqrt {(\delta x)^2+ (\delta y)^2 } = \sqrt {(\delta x+ \delta y)^2 -2\delta x\delta y}$
При положительных погрешностях истинное значение $\delta (x \cdot y)$ больше суммы, а предложенная формула дает значение меньше, то есть не является улучшением.

Впрочем, дело может быть не в этом. На самом деле, отбрасывая величины второго порядка малости, мы увидим, что оба представления погрешности совпадают в главном, то есть экивалентны . А чем лучше формула в виде корня -- это уж надо смотреть контекст.

[eugrita]

они вообще дают формулу для любой функции
$\Delta z=\sqrt {\frac{\partial f}{\partial x}\cdot (\Delta x)^2 +\frac{\partial f}{\partial y}\cdot (\Delta y)^2}$ для любой функции 2 переменных

[Munin]

eugrita в сообщении #1220752 писал(а):

где фактически сказано

А вы уверены, что там сказано именно это? Хорошо бы привести цитату.

[eugrita]

ВОТ

[Евгений Машеров]

В теории размерных цепей (инженерной дисциплине) рассматривают два способа расчёта - по максимальным отклонениям (метод полной взаимозаменяемости) и вероятностный (метод неполной взаимозаменяемости). В первом случае возможные отклонения звеньев размерной цепи суммируются, во втором рассматриваются, как независимые случайные величины, так что суммируются их дисперсии, и в окончательной формуле появляется корень из суммы квадратов. Первый способ надёжнее, но при большом числе звеньев размерной цепи даёт завышенное значение допусков, поэтому используются оба.
По-видимому, автор методички исходит из предположения, что ошибки - независимые случайные величины.

[svv]

Можно предположить, что логика авторов была примерно такой. Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины. Тогда
$\textsf D(XY)=(\textsf MY)^2\,\textsf DX+(\textsf MX)^2\,\textsf DY+\textsf DX\,\textsf DY$
($\textsf M$ — мат.ожидание, $\textsf D$ — дисперсия)

С использованием среднеквадратичного отклонения:
$(\sigma (XY))^2=(\textsf MY)^2\,(\sigma (X))^2+(\textsf MX)^2\,(\sigma (Y))^2+(\sigma(X)\,\sigma (Y))^2$
Предположим, что с.к.о. гораздо меньше матожидания, тогда
$(\sigma (XY))^2=(\textsf MY)^2\,(\sigma (X))^2+(\textsf MX)^2\,(\sigma (Y))^2$
Разделим обе части на $(\textsf M(XY))^2=(\textsf M(X))^2 (\textsf M(Y))^2$:
$\frac{(\sigma (XY))^2}{(\textsf M(XY))^2}=\frac{(\sigma (X))^2}{(\textsf M(X))^2}+\frac{(\sigma (Y))^2}{(\textsf M(Y))^2}$
или
$\frac{\sigma (XY)}{\textsf M(XY)}=\sqrt{\left(\frac{\sigma (X)}{\textsf M(X)}\right)^2+\left(\frac{\sigma (Y)}{\textsf M(Y)}\right)^2}$

Теперь видно, что, скорее всего, авторы относительной погрешностью величины $X$ считают величину $\frac{\sigma (X)}{\textsf M(X)}$.

[provincialka]

Уф... покрайней мере, частные производные в квадрат возводятся, в отличии от

eugrita в сообщении #1220798 писал(а):

$\Delta z=\sqrt {\frac{\partial f}{\partial x}\cdot (\Delta x)^2 +\frac{\partial f}{\partial y}\cdot (\Delta y)^2}$

Ко мне вернулась вера в человечество!

[Korvin]

Если попросту и отойти от произведения/частного и вернуться к более простому случаю суммы/разности, то первый случай приводит к теории допусков, где при определенном классе выполнения деталей гарантируется 100% накрутка гайки на болт или попадания болта в отверстие. А вероятностный подход хорошо проиллюстрировать примером из диетологии: среди видных диетологов (М. Гинзбург и пр.) стало модным отрицать возможность подсчет калорийности пищи на том основании, что погрешность таблиц калорийности с учетом кулинарной обработки потерь разных условий произрастания хранения и пр. ведет к погрешностям порядка 20%. А 20% от дневного рациона 2500 ккал дает 500 ккал - совершенно неприемлемая погрешность. Но с учетом того, что складываются дисперсии, а ошибки симметричны и скорей всего нормальны, и в неделю человек потребляет около 140-150 порций всевозможных продуктов примерно равной калорийности каждая, тогда относительная погрешность недельного рациона уменьшается в корень из (140-150) = 12 раз, и 20% преобразуются в 1,6%. Прекрасная точность, для практических целей диетологии годится. Но врачи не знают матстатистики, а скоро их заставят работать по протоколам (=алгоритмам) как на западе, тем самым запретив даже думать.

[eugrita]

Цитата:

Теперь видно, что, скорее всего, авторы относительной погрешностью величины $X$ считают величину $\frac{\sigma (X)}{\textsf M(X)}$.

т.е коэффициент вариации?
Эх, были когда-то когда-то у нас на кафедре информатики и прикл математики в ВУЗе элементы теории численных методов для инженеров.
Уже тогда я в меру своих возможностей начинал не с скажем с методов решения нелинейного уравнения - деления пополам, касательных Ньютона и проч а с элементов теории приближенных вычислений.
Сначала пусть считать правильно научатся, что такое значащие цифры, правила округления а потом более сложные вещи. - ведь ничего после школы не знают...А тут - сами видите куда загнули

[svv]

eugrita в сообщении #1221389 писал(а):

т.е коэффициент вариации?

Простите, я не очень разбираюсь в этом, термин незнаком.

[eugrita]

господи, основы матстатистики, Провинциалка не даст соврать!

[svv]

Ну, звиняйте...

[Евгений Машеров]

Скорее "общей статистики", матстатистика коэффициент вариации не очень любит, он для некоторых распределений вообще бессмысленен, а практики используют, его интерпретировать просто.

[Korvin]

eugrita в сообщении #1221394 писал(а):

господи, основы матстатистики, Провинциалка не даст соврать!

Положение ужасающее. Матстатистика и теорвер - мировоззренческая наука, похлеще любой философии. Ввели ведь в СШ, но сделали глупость - начиная с 5 класса по выпускной по несколько часов в год в курсе математики, в ЕГЭ скорей всего нет (как нет в ЕГЭ по физике включенной в курс физики астрономии), соответственно и не учат. Методист мне рассказывала, что когда ввели уроки теорвера в школе, хлынули на переподготовку школьные учителя математики, которые умудрились закончив пед не знать азов теорвера. При том, что в инженерных вузах после 3 семестров нормальной вышки 4-й семестр - исключительно теорвер по знаменитому учебнику Вентцель, она же И. Грекова.