Сходимость операторов

[Dan B-Yallay]

Боюсь для этого без Банаха со Штейнхаусом не обойтись.

Кстати, Henrylee поглядите вторую ссылку на страничке.
http://www.google.com/search?q=%D1%81%D ... ceweasel-a


Это линк на *Значение слова "Сходимость" в Большой Советской Энциклопедии*

[Henrylee]

Dan B-Yallay писал(а):

Это линк на *Значение слова "Сходимость" в Большой Советской Энциклопедии*

Посмотрел. Про сходимость операторов ничего не заметил

ПРо равномерную сходимость. Есть ощущение, что можно придумать контрпример.

[Dan B-Yallay]

Henrylee писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Это линк на *Значение слова "Сходимость" в Большой Советской Энциклопедии*

Посмотрел. Про сходимость операторов ничего не заметил



ПРо равномерную сходимость. Есть ощущение, что можно придумать контрпример.

Я пытаюсь безуспешно доказать и тоже складывается такое ощущение.

[Henrylee]

Ну вот несложный пример.
Рассматриваем гильбертово пространство, пускай $l_2$с базисом $\{e_k\}$ (единица на $k$-ом месте).
Определим самосопряженный оператор проектирования $P_n$.

$$ P_nx=\sum\limits_{k=1}^n(x,e_k)e_k $$

Легко видеть, что $P_n\to I$ (тождественный оператор) сильно и слабо (вместе с квадратами). Но равномерной сходимости нет, так как $P_n$ компактны, а тождественный нет. Или явно вычислить норму разности:

$$ ||P_n-I||=\sup\limits_{||x||\leqslant 1}||P_nx-Ix||=\sup\limits_{||x||\leqslant 1}\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}(x,e_k)^2=1 $$

[ewert]

Давайте попытаемся перевести это на более вульгарный язык. Пусть $\{P_n\}$ -- последовательность ортопроекторов на элементы некоторой ортонормированной последовательности. Они самосопряжены, и на любом элементе сходятся к нулю. Но, разумеется, по норме решительно ни к чему не сходятся (уж к нулю-то во всяком случае).