Минимизация функционала

[Hermann]

Здравствуйте.

Прошу помочь с задачей. Требуется найти такую траекторию самолета, по которой он, двигаясь с постоянной по модулю скоростью v при постоянном ветре V в горизонтальной плоскости, попал бы из точки А в точку В за кратчайшее время.

Я записываю функционал времени полета

$$t=\int \limits_A^B \frac{dl}{|\bf v+\bf V|},$$

$$|{\bf v + V}|=\sqrt{v^2+2vV\cos\varphi+V^2}.$$

Дифференциал dl можно подать как

$$dl=\sqrt{1+y'^2(x)}dx,$$

y(x) - искомая траектория полета.

Однако далее, для минимизации функционала, необходимо связать переменную интегрирования x с углом $\varphi$. Верен ли этот путь, и есть ли более оптимальный?

[DeBill]

Hermann
Ну, можно и так. Ваш угол фи можно выразить через направление ветра и направление касательной (тангенс угла наклона которой, как Вы знаете, равен производной). Можно и сразу прикинуть, что это даст: из уравнения Эйлера-Лагранжа получим постоянство производной. Так что лететь надо по прямой. И, поскоку надо попасть из А в В, то - именно что лететь надо по АВ...
Можно и чисто геометрически: нарисуем индикатрису скоростей (т.е., концы всех допустимых векторов скорости). Без ветра это был бы круг радиуса $v$, с учетом ветра - его надо сдвинуть на $V$. Соединим А с В отрезком, и пусть он пересекает край индикатрисы в точке С. Приложим к точке С наш вектор $-V$, и пусть его конец окажется в точке $D$. Вот в направлении $AD$ и надо направить нос самолета: в результате будем лететь в точности по направлению к В...

[Hermann]

DeBill, насколько понял, Ваши рассуждения можно формализовать так: выберем СК таким образом, чтобы направление ветра совпадало с направлением оси оси Ox. Тогда

$$\tan\varphi=y'(x), \,\, \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+y'^2(x)}}. $$

Подставляя в формулу для $t$, видим, что подынтегральное выражение $F$ зависит лишь от $y'(x)$, а значит, из уравнения Эйлера-Лагранжа

$$\frac{\partial F}{\partial y'}=Const.$$

Отсюда следует, что $F$ - линейная функция от $y'(x)$. А так как

$$\frac{\partial F}{\partial x}=0, \, \text{то} \,\, y'(x)=Const.$$

Заключаем, что искомая траектория - прямая, согласно краевым условиям проходящая через точки $A, B$.