2 закон Ньютона в "импульсной форме"

[wrest]

Erleker в сообщении #1220313 писал(а):

Да, как я и хотел до вас донести, в общем случае она не верна.

Спасибо, но почему-то вы не нашли сразу правильных слов :)

Erleker в сообщении #1220313 писал(а):

Я не знаю, что там в топике,

Там собсно обсуждение можно ли применить правило вычисления производной произведения двух функций к вычислению производной импульса как производной произведения функции массы на функцию скорости, и записать 2-й закон как $\dfrac{dm}{dt}\vec{v}+m\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\sum\vec{F}$
Кстати там по соседству там есть еще топик, буквально 2-х недельной давности, прямо озаглавленный как обсуждение Галилей-инвариантности 2-го закона в записи через производную произведения массы и скорости.
https://www.physicsforums.com/threads/g ... on.914997/

-- 31.05.2017, 10:26 --

Erleker в сообщении #1220313 писал(а):

Так что вернитесь к обычной формулировке в виде производной по импульсу для системы тел(состав которой мы не меняем при описании).

Да, пожалуй это будет наиболее правильным.

[Erleker]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1220404 писал(а):

Erleker в сообщении #1220313 писал(а):

Да, как я и хотел до вас донести, в общем случае она не верна.

Спасибо, но почему-то вы не нашли сразу правильных слов :)

Erleker в сообщении #1220060 писал(а):

Просто так расписывать неверно.Все зависит от условия задачи.
{*далее пример*}

wrest в сообщении #1220404 писал(а):

Да, пожалуй это будет наиболее правильным.

Кстати, если вы разобрались, сможете написать ответ для 2 пунктов моей задачи?

[wrest]

Erleker в сообщении #1220406 писал(а):

Кстати, если вы разобрались, сможете написать ответ для 2 пунктов моей задачи?

А что надо посчитать?

Качественно ответы такие.

Во всех случаях только насыпания песка тачка никогда не остановится (пройдет бесконечный путь за бесконечное время), даже если нет силы которую прикладывает человек, но есть ненулевая начальная скорость тачки.

Если песок будет сверху насыпаться с нулевой скоростью относительно земли а снизу высыпаться со скоростью тачки относительно земли (насыпаться и высыпаться в одном темпе), то если человека нет, тачка никогда не остановится, но пройденный путь будет конечным за бесконечное время.

В случаях равномерного насыпания песка, если горизонтальная скорость песка всегда совпадает со скоростью тачки, то тачка неограниченно разгонится за бесконечное время. Если горизонтальная скорость песка будет нулевая, то на первый взгляд возможны варианты неограниченного разгона тачки, установления равномерного движения, а возможно и монотонного торможения, но не до нуля.

[Erleker]

В 1 случае это неверно.Тачка может остановиться из-за слишком быстрого насыпания песка.
Известно: сила человека $F$ , скорость насыпания $\frac{dm(t)}{dt}$, масса с грузом $m(t)$ , скорость $v$ - в данный момент.
Нужно выразить для данного момента: $\frac{dv}{dt}$

[wrest]

Erleker в сообщении #1220450 писал(а):

В 1 случае это неверно.Тачка может остановиться из-за слишком быстрого насыпания песка.

Не может, я гарантирую это :)
Конечно, гарантия дается на случай равномерного насыпания песка (килограмм в секунду), при условии что горизонтальная скорость песка неотрицательна относительно земли, и начальная скорость тачки тоже неотрицательна. Гарантия дается на то, что независимо от того, есть человек или нет, тачка будет двигаться бесконечно.

Смотрите, вот есть тачка, какой-то массы, человека нет, тачка движется авномерно и прямолинейно с положительной горизонтальной скоростью. На неё сверху падает мешок с песком с нулевой горизонтальной скоростью. Горизонтальный импульс системы тачка-мешок сохраняется, а он до падения мешка был ненулевой за счет тачки, это независимо от соотношения масс тачки и мешка, значит будет ненулевой и после падения, т.е. тачка уже с мешком продолжит движение. Тут дифуры не нужны :)

[Erleker]

wrest в сообщении #1220457 писал(а):

Тут дифуры не нужны :)

Нет, нужно найти ответ в виде формулы и все будет понятно.Сделайте это, это правда будет полезно.
Тачка остановится, но, разумеется, через бесконечное время, а при бесконечно возрастающей скорости насыпания (если масса к некоторому момент будет стремится к бесконечности) может и за конечное.

[wrest]

Erleker в сообщении #1220459 писал(а):

Нет, нужно найти ответ в виде формулы и все будет понятно.Сделайте это, это правда будет полезно.

Ну, попробуем.

Телегу толкает человек с силой $F$, сверху сыпят песок с нулевой горизонтальной скоростью. Векторы писать не буду, все одномерное.

2-й Закон Ньютона:

$$F=\dfrac{dp}{dt} \eqno(1)$$

2-й закон в "раскрытом виде":

$$F=v(t)\dfrac{dm}{dt}+m(t)\dfrac{dv}{dt} \eqno(2)$$

Полагаем что песок сыпят с постоянной скоростью (килограмм в секунду):

$$\dfrac{dm}{dt}=const=M \eqno(3)$$

Полагаем что начальная скорость тачки была равна

$$v(0)=v_0 \eqno(4)$$

а начальная масса тачки была

$$m(0)=m_0 \eqno(5)$$

Тогда в силу (3) имеем

$$m(t)=m_0+Mt \eqno(6)$$

Подставляем (5) и (6) в (2), получаем

$$\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{F-Mv(t)}{m_0+Mt} \eqno(7)$$

Решаем (7) с учетом (4), получаем

$$v(t)=\dfrac{m_0v_0+Ft}{m_0+Mt} \eqno(8)$$

Видим, что через бесконечное время скорость тачки будет неотрицательной (и будет стремиться к $\dfrac{F}{M}$) Соответственно, при любом $M$ скорость не упадет до нуля никогда. Если человека нет и $F=0$, то скорость будет стремиться к нулю, но интеграл по скорости все равно расходится и тачка проедет бесконечное расстояние за бесконечное время.

Насыпание песка с нулевой горизонтальной скоростью это конечно худший случай (ибо так песок тормозит тачку, хуже только если в тачке снизу дыра и песок высыпается).

Так что выданная ранее гарантия на отсутствие остановки и бесконечный путь (при фиксированной скорости насыпания песка) остается в силе.

Если насыпать песок с возрастающей скоростью, т.е. $dm/dt$ как-то очень быстро (например $m'(t)=e^t$) возрастает, то вероятно, что путь станет конечным. Но скорость за конечное время, кмк, до нуля упасть не может при любом законе изменения $m'(t)$.

[Erleker]

Верно.А как будет во 2 случае?

[Munin]

wrest в сообщении #1220627 писал(а):

Векторы писать не буду, все одномерное.

Наверное, просто потому, что не умеете. Какую ошибку вы при этом делаете - вам arseniiv объяснял, но всё мимо ушей.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Танец маленьких (поли)векторов:

$$F\mathbf FF\mathbf FFF\mathbf FF\mathbf F+F\mathbf FF\mathbf FFF\mathbf FF\mathbf F+F\mathbf FF\mathbf F^2(\mathbf F\mathbf F\mathbf F\mathbf F\mathbf F)+F\mathbf FF\mathbf F^2(\mathbf F\mathbf F\mathbf F\mathbf F\mathbf F)+\ldots$$

(Вычислять в алгебре Клиффорда.)

[wrest]

Erleker в сообщении #1220650 писал(а):

А как будет во 2 случае?

Второй случай рассмотрим по рабоче-крестьянски, забыв "настоящую" формулировку Ньютона-Munin-а, то есть без явного расписывания производной импульса на сумму производных по массе и по скорости.

Опять же все одномерное (кроме того что песок сыпется сверху а тачка едет вбок, но тут вроде все очевидно), так что векторные величины представлены их единственной ненулевой координатой.

Сила человека $F$, песок падает с горизонтальной скоростью равной скорости тачки.

2-закон Ньютона в "школьной" формулировке

$$F(t)=m(t)a(t) \eqno(1)$$

По условию задачи $F(t)=const$ так что далее записываем $F(t)=F$
Из (1) получаем ускорение

$$a(t)=\dfrac{F}{m(t)} \eqno(2)$$

Задаем начальные условия

$$m(0)=m_0; v(0)=v_0 \eqno(3)(4)$$

Пусть скорость насыпания песка постоянная и равна $M$, тогда с учетом (3) закон насыпания песка

$$m(t)=m_0+Mt \eqno(5)$$

Подставляем (5) в (2) получаем ускорение тачки

$$a(t)=\dfrac{F}{m_0+Mt} \eqno(6)$$

Интегрируем ускорение (6), получаем скорость

$$v(t)=\dfrac{F \ln(m_0+Mt)}{M} + const \eqno(7)$$

С учетом начальной скорости тачки (4) получаем

$$v(t)=v_0+\dfrac{F}{M}\ln(1+\dfrac{M}{m_0}t) \eqno(8)$$

Ответ "некрасивый" (я ожидал что-то асимптотическое), но качественно вроде на правду похоже, предел при стремящейся к нулю скорости насыпания существует, разрыв в нуле может быть устранен. Тачка с нулевой начальной массой И человеком смысла не имеет (мгновенный разгон до бесконечной скорости), без человека скорость тачки постоянна no matter what.

Интеграл по скорости (пройденный путь) расходится при неотрицательной начальной скорости тачки, положительной начальной массе, неотрицательной скорости насыпания песка, скорость тачки со временем растет неограниченно если человек есть и остается постоянной если человека нет.

[Erleker]

wrest в сообщении #1220898 писал(а):

Второй случай рассмотрим по рабоче-крестьянски, забыв "настоящую" формулировку Ньютона-Munin.

Ну вот, то есть теперь вы поняли в каком случае что и как?Вы это поняли "интуитивно" или сможете показать, почему именно так?
P.S.Формулировка Ньютона это $d\boldsymbol{p}=\boldsymbol{F}dt$ для системы масс.

[wrest]

Erleker в сообщении #1220915 писал(а):

Ну вот, то есть теперь вы поняли в каком случае что и как?

Нет
Я понял, что надежней по "школьной" формуле $F=ma$, а про $F=ma+v\dfrac{dm}{dt}$ лучше забыть.

[Erleker]

А как на счет $d\boldsymbol{p}=\boldsymbol{F}dt$ для системы постоянных масс все-таки?
Как вы будете писать, если у вас от реактивной ракеты отлетает топливо с произвольной скоростью и на нее действует сила?

[wrest]

Erleker в сообщении #1220960 писал(а):

А как на счет $d\boldsymbol{p}=\boldsymbol{F}dt$ для системы постоянных масс все-таки?

Так для постоянных масс $m'(t)=0$ и все возвращается к $F=ma=mv'(t)=p'(t)$

Erleker в сообщении #1220960 писал(а):

Как вы будете писать, если у вас от реактивной ракеты отлетает топливо с произвольной скоростью

По рабоче-крестьянски, по стопам Мещёрского, через сохранение импульса системы ракета-топливо.
Там конечно появятся дифференциалы массы ракеты и топлива, но их сумма будет нулевая (где сколько прибыло столько же и убыло в другом месте).

Проблема же и вправду в Галилей-НЕинвариантности, когда сила вдруг зависит от выбора ИСО, а не должна бы.

Я вот чувствовал, что что-то тут нечисто, так и не понял что именно конкретно, но понял, что лучше оставаться в замкнутой системе, либо уже пускаться во все неинерциальные тяжкие и привлекать из преисподней силы инерции и центробежные ускорения (если что-нибудь вертится).