Сходимость операторов

[ewert]

Spook писал(а):

Итак, окончательный вариант:
${||A_nx||}^2=(A_nx,A_nx)=(x,A^2_nx)\to (x,A^2x)={||Ax||}^2$.
Кроме того,
$||A_n-A||^2=||A_n||^2+||A||^2-(A_n,A)-(A,A_n)$.
В силу слабой сходимости: $(x,x_n)\to (x,x)=||x||^2,$ и также $(x_n,x)\to ||x||^2$. Следовательно, $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||Ax_n-Ax||^2=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||Ax_n||^2-||Ax||^2=0$ Что означает равномерную сходимость(по норме).

Ну только всё же никак не равномерную, а всего лишь сильную (в смасле поточечную)

[Dan B-Yallay]

Spook писал(а):

Итак, окончательный вариант:
${||A_nx||}^2=(A_nx,A_nx)=(x,A^2_nx)\to (x,A^2x)={||Ax||}^2$.
Кроме того,
$||A_n-A||^2=||A_n||^2+||A||^2-(A_n,A)-(A,A_n)$.
В силу слабой сходимости: $(x,x_n)\to (x,x)=||x||^2,$ и также $(x_n,x)\to ||x||^2$. Следовательно, $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||Ax_n-Ax||^2=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||Ax_n||^2-||Ax||^2=0$ Что означает равномерную сходимость(по норме).

Причем тут $Ax_n$когда нужно рассматривать $A_nx$ Опечатка наверное.

Чтобы из этой поточечной сходимости получить равномерную нужно применить теорему Банаха-Штейнхауса о равномерной ограниченности семейства операторов.

[Henrylee]

Spook писал(а):

Кроме того,
$||A_n-A||^2=||A_n||^2+||A||^2-(A_n,A)-(A,A_n)$.
В силу слабой сходимости: $(x,x_n)\to (x,x)=||x||^2,$ и также $(x_n,x)\to ||x||^2$. Следовательно, $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||Ax_n-Ax||^2=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||Ax_n||^2-||Ax||^2=0$ Что означает равномерную сходимость(по норме).

Я до сих пор не понимаю запись $(A,A_n)$. Последняя строчка тоже не очевидна (я про выражение, про слова уже сказали)
Воoбще, я имел в виду вот что:

$$ ||A_nx-Ax||^2=||A_nx||^2+||Ax||^2-(A_nx,Ax)-(Ax,A_nx)=...\to...=0 $$

[Dan B-Yallay]

Henrylee писал(а):

Spook писал(а):

Кроме того,
$||A_n-A||^2=||A_n||^2+||A||^2-(A_n,A)-(A,A_n)$.
В силу слабой сходимости: $(x,x_n)\to (x,x)=||x||^2,$ и также $(x_n,x)\to ||x||^2$. Следовательно, $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||Ax_n-Ax||^2=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||Ax_n||^2-||Ax||^2=0$ Что означает равномерную сходимость(по норме).

Я до сих пор не понимаю запись $(A,A_n)$. Последняя строчка тоже не очевидна (я про выражение, про слова уже сказали)
Воoбще, я имел в виду вот что:

$$ ||A_nx-Ax||^2=||A_nx||^2+||Ax||^2-(A_nx,Ax)-(Ax,A_nx)=...\to...=0 $$

Я уже предлагал это

Dan B-Yallay писал(а):

Попробуйте расписать $||A_nx-Ax||^2=$

но было отклонено.

[Spook]

ewert, покажи пожалуйста, как правильно будет выглядеть равномерная сходимость.
Dan B-Yallay, да очепятался, исправил. Значит из сильной сходимости следует равномерная? Я знаю обратный результат, но не знаю этой теоремы(( Получается эти понятия(сильная и равномерная) эквивалентны?
Henrylee, исправил, но ведь мы можем записывать, например: $||A_n-A||$?

[Henrylee]

Dan B-Yallay писал(а):

Я уже предлагал это

Dan B-Yallay писал(а):

Попробуйте расписать $||A_nx-Ax||^2=$

но было отклонено.

Я прдлагал это несколькими постами раньше Вот только это было не отклонено, а понято не так, как мы с Вами имели в виду.

[Spook]

Dan B-Yallay,Henrylee,я это таки сделал)))

[Dan B-Yallay]

Spook писал(а):

ewert, покажи пожалуйста, как правильно будет выглядеть равномерная сходимость.
Dan B-Yallay, да очепятался, исправил. Значит из сильной сходимости следует равномерная? Я знаю обратный результат, но не знаю этой теоремы(( Получается эти понятия(сильная и равномерная) эквивалентны?
Henrylee, исправил, но ведь мы можем записывать, например: $||A_n-A||$?

Из поточечной сходимости не следует сходимость по норме. Чтобы доказать равномерную, в данном конкретном случае можно применить теорему Б-Ш, , но если вы ее не знаете, лучше не морочиться и пойти по тому пути который указал Henrylee :

$$||A_nx-Ax||^2=||A_nx||^2+||Ax||^2-(A_nx,Ax)-(Ax,A_nx)=...\to...=0 $$

А вообще я сморозил глупость. Штейнхаус - для линейных непрерывных операторов.

[Henrylee]

Spook писал(а):

Henrylee, исправил, но ведь мы можем записывать, например: $||A_n-A||$?

Записывать мы, конечно, так можем, но это обозначает норму оператора (вот сходимости по ней это и есть равномерная, да простит меня ewert, если опередил). Но это не то же самое, что $||A_nx-Ax||$, что означает норму образов. А вот скалярное произведение, определенное для элементов, в пространстве операторов у нас нет (по крайней мере в этой задаче еще нет).

Spook писал(а):

Dan B-Yallay,Henrylee,я это таки сделал)))

Показывайте

[Spook]

Henrylee писал(а):

Показывайте

Вот)

Spook писал(а):

Итак, окончательный вариант:
${||A_nx||}^2=(A_nx,A_nx)=(x,A^2_nx)\to (x,A^2x)={||Ax||}^2$.
Кроме того,
$||A_nx-A||^2=||A_nx||^2+||Ax||^2-(A_nx,Ax)-(Ax,A_nx)$.
В силу слабой сходимости: $(Ax,A_nx)\to (Ax,Ax)=||Ax||^2,$ и также $(A_nx,Ax)\to ||Ax||^2$. Следовательно, $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||A_nx-Ax||^2=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||A_nx||^2-||Ax||^2=0$ Что и означает сильную сходимость.

Ну теперь прямо ясность в голове)) Спасибо всем!

[Dan B-Yallay]

Это все еще поточечная сходимость.
Вам нужно ее использовать чтобы показать теперь что

$\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||A_n - A||^2 = \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||A_nx-Ax||^2 \}= 0$

После этого будет уже "все".

[Spook]

исправил) Но боюсь, что это я уже не потяну

[Henrylee]

Да вроде в задаче только сильную сходимость требовалось показать (то есть поточечную).

[Spook]

Хотя потяну:
$||A_nx-Ax||=||(A_n-A)x||\to||0x||=0$(сначала применил слабую, птом сильную, которую уже доказал), следовательно
$\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||A_n - A||^2 = \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||A_nx-Ax||^2 \}=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||(A_n-A)x||^2 \}= \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||0x||^2 \}=0$

Добавлено спустя 1 минуту 11 секунд:

Henrylee, ну мы её обобщили)

[Dan B-Yallay]

Spook писал(а):

:oops: исправил) Но боюсь, что это я уже не потяну

А чего там тянуть то?

$$ ||A_nx-Ax||^2 =|A_nx||^2+||Ax||^2-(A_nx,Ax)-(Ax,A_nx) \le$$

согласно свойству норм

$$\le ||A_n||^2||x||^2 + ||A||^2||x||^2 - ||A_n|| \, ||A|| \, ||x^2|| - ....$$

поэтому супремум слева не больше супремума справа который стремится сами знаете к нулю