Два весёлых числа

[Ktina]

(по мотивам Ленинградской Олимпиады)

Два натуральных числа отличаются на 18. Их произведение на 4 больше числа, десятичная за-
пись которого состоит из одних единиц. Найдите эти числа и докажите, что других нет.

[DeBill]

Если наши числа $x-9$ и $x+9$, то $x^2 = 111...1196$.
Если у $x$ последняя цифра 4, то предпоследняя - 1 или 6.
Если последняя - 6, то предпоследняя - 3 или 8.
На 1196 - не кончаются. Значит, кроме 196 - ничего нет...

[kotenok gav]

2, 3 и 7 - это точно единицы?

[PETIKANTROP]

23 и 5
23-5=18
23*5=115
115-111=4

Доказательство: потому что 5))))

[rockclimber]

Произведение - это число вида $111...15$, которое представляет собой произведение $22...23 \cdot 5$. Что делать дальше с этим, не знаю. Проверил несколько первых чисел такого вида - есть несколько простых, остальные делятся на "неудобные" множители, из которых не получается соорудить что-то с разностью 18. Но как это пришить к доказательству - непонятно.

Ответ DeBill не понял вообще

[gris]

А что непонятного? Как раз $5=\sqrt {196}-9; 23=\sqrt{196}+9$ да плюс то, что это единственное решение.
Рассмотреть четыре случая и показать, что третья (четвёртая) цифра с конца чётная. Или проще

[rockclimber]

А, кажется, понял.