Топология на счетном множестве

[Taras]

Не могу сообразить:всякая ли топология на счетном множестве имеет счетную базу?
Так как доказать не выходит, то есть подозрения, что не всякая, но контрпример найти не удается.

[Someone]

Не всякая. Рассмотрим множество $Q$ рациональных чисел промежутка $[0,1)$. Все точки, кроме $0$, объявим изолированными, то есть, одноточечные множества $\{r\}$, $r\in Q\setminus\{0\}$, считаем открытыми. Окрестностями точки $0$ считаем всевозможные множества вида $Q\setminus\{r_n\in Q\setminus\{0\}:n\in\mathbb N\}$, удовлетворяющие условию $\lim\limits_{n\to\infty}r_n=0$.

[Taras]

Насколько я понял вы написали базу топологии, а почему из нее нельзя извлечь счетное подмножество, чтобы оно было тоже базой етой топологии?

[Someone]

Taras писал(а):

почему из нее нельзя извлечь счетное подмножество, чтобы оно было тоже базой

Потому что для любого счётного семейства последовательностей, сходящихся к $0$, существует последовательность, также сходящаяся к $0$, которая пересекается с каждой из последовательностей данного семейства по конечному множеству.

Поэтому для любого счётного семейства окрестностей точки $0$ можно найти окрестность, не содержащую ни одну из окрестностей данного семейства.

Попробуйте это доказать сами.

[Taras]

спасибо, разобрался.
Философский вопрос: как научится строить подобного рода контрпримеры?