Нужно "свернуть" такую последовательность:
![$$\[n({10^3} - 1) + {n^2}({10^4} - 1) + {n^3}({10^5} - 1) + \ldots + {n^{k - 1}}({10^{k + 1}} - 1)\]$$ $$\[n({10^3} - 1) + {n^2}({10^4} - 1) + {n^3}({10^5} - 1) + \ldots + {n^{k - 1}}({10^{k + 1}} - 1)\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/f/29f20f1f1c4efb975aaab9d460f5a2bb82.png)
Сначала я подумал, что это геометрическая прогрессия, со знаменателем
![$\[an\]$ $\[an\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/7/4a7bf15e993628078c464b94561065c782.png)
, где

- какое-то число. Но это не так: величина
![$\[\frac{{{{10}^k} - 1}}{{{{10}^{k - 1}} - 1}}\]$ $\[\frac{{{{10}^k} - 1}}{{{{10}^{k - 1}} - 1}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/0/1d0e0f294ae83b66ddcd92413ce0162082.png)
зависит от

. Далее решил проверить, является ли константой изменение изменения знаменателя, но и это оказалось неправдой:
![$\[\frac{{{{10}^k} - 1}}{{{{10}^{k - 1}} - 1}} - \frac{{{{10}^{k - 1}} - 1}}{{{{10}^{k - 2}} - 1}}\]$ $\[\frac{{{{10}^k} - 1}}{{{{10}^{k - 1}} - 1}} - \frac{{{{10}^{k - 1}} - 1}}{{{{10}^{k - 2}} - 1}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/f/0cff425a9916b549b47c3ad57b020ba182.png)
также зависит от

. У меня два вопроса:
1) Что это за прогрессия?
2) Есть ли формула суммы первых членов обобщенной геометрической прогрессии, в которой можно задать скорость изменения знаменателя(как в обычной геометрической прогрессии), скорость изменения изменения знаменателя, скорость изменения изменения изменения знаменателя и т.д. по аналогии со скоростью, ускорением, рывком...?