Оптимизационная задача

[alisa-lebovski]

Пусть дана вогнутая (выпуклая вверх) функция $f(x)$ на отрезке $[0,1]$ такая что 0\le f(x)\le \min\{x,1-x\}$ и $f(c)=d$, $0<c<1$. Найти максимум и минимум интеграла

$$ I=\int_0^1\frac{dx}{(2-f(x))^2}.$$

Стала решать графически, нарисовала область для $f$ (треугольник) и точку $(c,d)$ в нем. Чтобы интеграл сделать минимальным, желательно функцию сделать везде меньше. Исходя из вогнутости получается, что нужно взять ломаную, соединяющую точки $(0,0)$, $(c,d)$ и $(1,0)$. А вот как сделать интеграл максимальным? Я сначала думала проводить через точку $(c,d)$ различные прямые до пересечения со сторонами треугольника, и максимизировать по ним, но не уверена. Графически тут уже не очевидно. Видимо, нужно применять вариационное исчисление. Но как в таких условиях формализовать задачу?

[ewert]

alisa-lebovski в сообщении #1219319 писал(а):

Чтобы интеграл сделать минимальным, желательно функцию сделать везде меньше. Исходя из вогнутости получается, что нужно взять ломаную, соединяющую точки $(0,0)$, $(c,d)$ и $(1,0)$.

Верно.

А максимальным он будет, если взять четырёхугольник, верхняя сторона которого проходит через точку фиксации. В каком именно положении -- надо считать; но, во всяком случае, вариационное исчисление тут не при чём. Просто экстремум функции одной переменной, причём выписываемой явно, но, скорее всего, довольно корявой.

[alisa-lebovski]

Я тоже так сначала подумала, но засомневалась. Подумала, что лучше более строгий формальный метод. Как доказать, что нужно поступать именно таким образом, а не искать какую-то хитрую кривую?

[ewert]

alisa-lebovski в сообщении #1219360 писал(а):

Как доказать, что нужно поступать именно таким образом, а не искать какую-то хитрую кривую?

Дело в том, что у любого такого графика в точке фиксации есть касательная. Возможно, и не одна, но уж хотя бы одна-то точно есть. А если касательная зафиксирована -- функция будет поточечно максимальна, когда её график упрётся в эту касательную и в боковые стороны. Следовательно, только наклоны верхней стороны и нужно перебирать.