Интеграл

[wrath]

Помогите пожалуйста взять интеграл $\int~\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}$. Подстановки Эйлера здесь не прокатят ибо получаеца практически не интгрируемая дробь. Нужен другой способ. Желатьльно описать пошагово. Препод предложил гиперболическую или тригонометрическую замену, но я понятия не имею што это.

[AD]

Заметим, что ...

$$\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}=\frac{(x^2-4+4)\sqrt{x^2-4}}{x^2-4}=\sqrt{x^2-4}+\frac{4}{\sqrt{x^2-4}}$$

... и свелось к табличным.

[wrath]

Большое спасибо

[antbez]

А в общем случае помогла бы замена $x=2cht$
Кстати, AD , как нам преподавалось, $\int \sqrt{x^2-4} dx$ не является табличным!

[Dan B-Yallay]

antbez писал(а):

А в общем случае помогла бы замена $x=2cht$
Кстати, AD , как нам преподавалось, $\int \sqrt{x^2-4} dx$ не является табличным!

Делаем замену $ u=x$ после чего ищем в таблице $\int \sqrt{u^2-4} du$ шутка

[antbez]

Что считать табличным- ответить, наверное, сложно. А в таблицах многое можно найти!

[wrath]

Тогда помогите понизить степень интеграла до n-1 \int \frac{x^{2}}{({x^{2}+R})^n}, где n-целое, а R-любое число.


Знаю, что нужно интегрировать по счастям : u=x; dv=\frac{x}{(x^2+R)^{n}}.
Но я никак не могу понять как найти первообразную от dv

[ИвановЭГ]

wrath писал(а):

Тогда помогите понизить степень интеграла до n-1 \int \frac{x^{2}}{({x^{2}+R})^n}


Знаю, что нужно интегрировать по счастям : u=x; dv=\frac{x}{(x^2+R)^{n}}.
Но я никак не могу понять как найти первообразную от dv

это уже другой пример!!!??

[wrath]

Ага

[ИвановЭГ]

wrath писал(а):

Ага

где в вашем примере "dx"

[wrath]

Извиняюсь, забыл

\int \frac{x^2}{(x^2+R)^n}dx

[ewert]

ИвановЭГ писал(а):

wrath писал(а):

Ага

где в вашем примере "dx"

" -- туда второй $x$ и загоняйте"

[ИвановЭГ]

wrath писал(а):

Извиняюсь, забыл

\int \frac{x^2}{(x^2+R)^n}dx

что хотите в конце концов получить!

[wrath]

Не как найти первообразную от \frac{x}{(x^2+R)^n}

[ewert]

wrath писал(а):

Не как найти первообразную от \frac{x}{(x^2+R)^n}

внесением икса под знак дифференциала