Мини олимпиада для школьников

[Dmitry Tkachenko]

1. Найти все $(a, b, c, d)\in \mathbb{N}_0^4,$ удовлетворяющие равенствам $17a-54b-24c-53d=-7$ и $4a-8b-3c-11d=1.$

2. Доказать равенство $\cos(2x-6y)+\cos(2x+y)-\cos(2x+6y)-\cos(2x-y)-\cos 7y \leqslant 3.$

3. Найти $a,b,c,d\in \mathbb{Z},$ чтобы одним из корней уравнения $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ было число $\sqrt[4]{3}-3\sqrt[4]{9}+\sqrt[4]{27}.$

-- 26.05.2017, 08:19 --

4. Основой пирамиды $ABCDS$ является параллелограмм $ABCD.$ На боковых рёбрах $AS, BS$ и $CS$ взяли точки $M,N,K$ соответственно, для которых $AM:MS=1:2, BN:NS=5:1, CK:KS=5:1.$ Найти положение на прямой $SD$ точки пересечения этой прямой с плоскостью $MNK.$