Преобразование Фурье

[StaticZero]

Настало время познакомиться с этим чудищем.

Найти

$$ \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{(x^2 + 2x + 10)^2} \right](\omega). $$

Сначала сделаю сдвиг аргумента на единичку:

$$ \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{(x^2 + 2x + 10)^2} \right](\omega) = \exp(i \omega) \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{(x^2 + 9)^2} \right](\omega). $$

Раскладываю на простейшие:

$$ \dfrac{1}{(x^2 + 9)^2} = \dfrac{Ax + B}{(x - 3i)^2} + \dfrac{Cx + D}{(x+3i)^2}. $$

Получаю систему уравнений

$$ \begin{cases} A + C = 0, \\ B - 6 A i + 6 C i + D = 0, \\ - 9 A - 6 B i - 9 C + 6 D i = 0, \\ - 9 B - 9 D = 1. \end{cases} $$

Отсюда получаю $C = - A$, $B + D = -1/9$, $- 12 A i = 1/9$, $B = D$, откуда окончательно

$$ \dfrac{1}{(x^2 + 9)^2} = \cfrac{- \cfrac{i x}{108} - \cfrac{1}{18}}{(x - 3i)^2} + \cfrac{\dfrac{ix}{108} - \cfrac{1}{18}}{(x+3i)^2} = \dfrac{1}{108} \left[ \dfrac{-ix - 6}{(x - 3i)^2} + \dfrac{ix - 6}{(x + 3i)^2}\right]. $$

Как теперь найти преобразование Фурье от того, что осталось в скобках? Под известные мне формулы не подходит, и что делать дальше я не знаю.

[mihaild]

Можно же дальше разложить - чтобы в числителях остались константы. А дальше будет (после сдвига) преобразование от $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ - табличные.

[StaticZero]

mihaild,

$$ \dfrac{1}{(x^2 + 9)^2} = \ldots = -\dfrac{i}{108} \left[ \dfrac{x - 6i}{(x - 3i)^2} - \dfrac{x + 6i}{(x + 3i)^2} \right] = - \dfrac{i}{108} \left[ \dfrac{1}{x - 3i} - \dfrac{3 i}{(x - 3i)^2} - \dfrac{1}{x + 3i} - \dfrac{3 i}{(x - 3i)^2}\right]. $$

Единственное, что мы знаем, так это

$$ \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{a^2 + x^2} \right](\omega) = \dfrac{1}{a} \sqrt{ \dfrac{\pi}{2} } \exp(-a|\omega|). $$

Приравнять $a$ к нулю здесь в пределе?

[mihaild]

Нет, к пределу тут перейти не получится.
Попробуйте найти преобразование Фурье от функции $sign(x) \cdot e^{-a|x|}$.

[amon]

Я бы воспользовался тем, что $\frac{1}{(x+a)^2}=-\frac{\partial}{\partial a}\frac{1}{x+a}$. Правда, сразу набегут математики и закричат, что это надо долго и с надрывом доказывать.

[StaticZero]

\begin{align*} \mathfrak F \left[ \operatorname{sgn} x \exp(-a|x|) \right] &= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sgn} x \exp(-a|x| - i \omega x) \ \mathrm dx = -\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{0} \exp(ax - i \omega x) \ \mathrm dx + \\ &+ \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{0}^{+\infty} \exp(-ax - i \omega x) \ \mathrm dx = -\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \dfrac{1}{a - i \omega} + \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{1}{a + i \omega} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\dfrac{-2 i \omega}{a^2 + \omega^2}\end{align*}

-- 24.05.2017, 20:08 --

amon в сообщении #1218590 писал(а):

Я бы воспользовался тем, что $\frac{1}{(x+a)^2}=-\frac{\partial}{\partial a}\frac{1}{x+a}$. Правда, сразу набегут математики и закричат, что это надо долго и с надрывом доказывать.

А надо?

Беда в том, что я ещё не знаю преобразования от $\dfrac{1}{(x + a)^2}$, аналогично для первой степени.

[mihaild]

Да, так. В получившейся штуке уже можно переходить к пределу $a \to 0$ (что всё равно надо долго доказывать ) - и слева получится преобразование Фурье от сигнума, а справа $\frac{C}{x}$. Теперь применяем преобразование Фурье к левой и правой частям - и мы нашли преобразование Фурье от $\frac{1}{x}$.

Как выглядит преобразование Фурье от производной, вы знаете?

[arseniiv]

StaticZero в сообщении #1218592 писал(а):

Беда в том, что я ещё не знаю преобразования от $\dfrac{1}{(x + a)^2}$, аналогично для первой степени.

А от чего знаете?

[StaticZero]

arseniiv в сообщении #1218601 писал(а):

А от чего знаете?

Е-в-степени-икс-квадрат и единица-делённая-на-икс-квадрат-плюс-а-квадрат (см. выше)...

-- 24.05.2017, 20:29 --

mihaild в сообщении #1218595 писал(а):

Как выглядит преобразование Фурье от производной, вы знаете?

$$\mathfrak F [ f' ](\omega) = i \omega \mathfrak F [f]$$

-- 24.05.2017, 20:37 --

mihaild в сообщении #1218595 писал(а):

В получившейся штуке уже можно переходить к пределу $a \to 0$ (что всё равно надо долго доказывать ) - и слева получится преобразование Фурье от сигнума, а справа $\frac{C}{x}$. Теперь применяем преобразование Фурье к левой и правой частям - и мы нашли преобразование Фурье от $\frac{1}{x}$.

Получается

$$ \mathfrak F [\operatorname{sgn} (x)](\omega) = -\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \dfrac{2 i}{\omega}. $$

Только я не могу сделать $\mathfrak F[\mathfrak F[\operatorname{sgn}(x)](\omega)](\xi)$, так как я не знаю, как преобразуется Фурье-на-Фурье. Но могу сделать $\mathfrak F^{-1}$ слева и справа, получу

$$ \operatorname{sgn}(x) = - \dfrac{2 i}{2\pi} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\exp(i x \omega) \ \mathrm d \omega}{\omega}, $$

только ещё не совсем догоняю, что это даёт.

-- 24.05.2017, 20:44 --

А. Если сделать замену переменных в интеграле слева, то тогда

$$ \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{x} \right] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\exp(- i \omega x)}{x} \ \mathrm dx = \dfrac{\sqrt{2 \pi}}{2 i} \operatorname{sgn}(\omega) = - i \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \operatorname{sgn}(\omega). $$

[amon]

StaticZero в сообщении #1218592 писал(а):

Беда в том, что я ещё не знаю преобразования от $\dfrac{1}{(x + a)^2}$, аналогично для первой степени.

Да, как-то не сообразил, что по вычетам интегралы Вы пока не считаете. Тогда могу только предложить такую дорогу нормальных героев. Считаем интеграл $I(k,a)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\exp(ikx)}{x + ia}dx.$ Что бы не запутаться, бесконечности в пределах временно заменим на какое-нибудь $M$, которое в конце устремим к бесконечности. Сделаем замену $x + ia\to t$, и вместо $I$ попытаемся сосчитать $\frac{\partial I}{\partial k}$

[StaticZero]

amon,

$$ \dfrac{\partial I}{\partial k} = \int \limits_{-M}^{+M} \dfrac{i x \exp(i k x)}{x + i a} \ \mathrm dx $$

[mihaild]

StaticZero, ну вот, преобразование Фурье от $\frac{1}{x}$ вы посчитали. $\frac{1}{x^2} = -\left(\frac{1}{x}\right)'$, как считать преобразование Фурье от производной, вы знаете - так что $\mathfrak{F}\left(\frac{1}{x^2}\right)$ вы тоже знаете. Ну и осталось это всё подставить в полученное ранее выражение.

[StaticZero]

$$ \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{x^2} \right] = - \dfrac{i \omega \sqrt{2 \pi}}{2 i} \operatorname{sgn} (\omega) = - \omega \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \operatorname{sgn}(\omega). $$

$$ \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{x - 3 i} \right] = - i \exp(-3 \omega) \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\operatorname{sgn}(\omega) $$

Правильно, в таком духе и продолжать?

-- 24.05.2017, 21:30 --

$$ \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{x + 3 i} \right]= - i \exp(3 \omega) \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \operatorname{sgn}(\omega) $$

$$ \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{(x + 3i)^2} \right] = - \omega \exp(3 \omega) \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \operatorname{sgn}(\omega) $$

$$ \mathfrak F \left[ \dfrac{1}{(x - 3i)^2} \right] = - \omega \exp(-3 \omega) \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \operatorname{sgn}(\omega) $$

[amon]

$$ I(k,a)=\int\limits_{-M+ia}^{M+ia}\frac{dt}{t}\exp(ik(t-ia)) $$

$\exp(ika)\frac{\partial I}{\partial k}=?$

[Padawan]

Если делать преобразование Фурье функций $\frac 1x$ и $\frac 1{x^2}$ - это значит залезать в теорию обобщенных функций. А это для ТС может быть нежелательно. Можно просто вычислить $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac 1{(a^2+x^2)^2} e^{-i\omega x} dx$, продифференцировав по параметру $a$ интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac 1{a^2+x^2} e^{-i\omega x} dx$