Система уравнений с двумя переменными второй степени

[bssgrad]

Необходимо решить систему уравнений методами подстановки и сложения:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x^2-3y=23 \\ 3y^2-8x=59 \\ \end{array} \right.$$

С виду не слишком сложно, но в итоге получает либо уравнение 4-й степени либо абракадабра.
Конечно, уравнение 4-й степени - приведенное, но, как мне кажется, должен быть способ решения без подбора.
Единственное к чему я пришел, так это к тому, что если умножить первое уравнение на 2, то получится:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 4x^2-6y=46 \\ 3y^2-8x=59 \\ \end{array} \right.$$

тогда, если сложить, то получится интересное, но, по-моему, бесполезное уравнение:
$4x^2 + 3y^2 - 8x - 6y = 105,$
$4x^2 + 3y^2 - 2(4x + 3y) = 105$.
Прошу помочь, т.к. не хочется оставить решение непонятым.

[gris]

Видно, что пересекаются две параболы в четырёх точках. Две даже видно. Они целые. Так что уравнение 4-ой степени можно разложить. Не самый лучший путь, наверное.

[bssgrad]

Да, согласно ответам 4 решения. Неужели единственный способ - это подбор?

[ИСН]

В общем случае такая штука не имеет причин быть проще, чем уравнение 4-й степени, тоже общего вида.

[gris]

На графике два целых решения подобрать легко, да и по уравнениям они хорошо заметны. Два других решения дробные или иррациональные. В общем-то, не так трудно решается. Но, возможно, есть какие-то хитрые способы, основанные на знании особых приёмов или свойств. Всё же оси парабол перпендикулярны, точки пересечения лежат на окружности(?).
Ау! Кто знает?

[mihiv]

Первое уравнение системы можно записать как: $2(x-2)(x+2)=3(y+5)$, а второе как: $-8(x-2)==-3(y-5)(y+5)$. Затем можно искать целые решения этой системы. Получается два целых решения.

[kalin]

Легко получить полином: $x^4-23x^2-6x+88=0$
Факторизация двумя квадратными трехчленами (например, методом Феррари):
$(x^2-2x-11)(x^2+2x-8)=0$