Характеристическое свойство архимедовых групп

[Руст]

1. Пусть действительная функция f(x) удовлетворяет условию: если ряд с общим членом x(n) cходится, то и ряд с общим членом f(x(n)) сходится. Докажите, что f(x) является ростком линейной функции в 0, т.е. существует a и c>0, что для любого х: |x|<c f(x)=ax.
2. Топологическая гпуппа A называется архимедовой, если существует некоторая окрестность единицы U, что для любого х, отличного от единицы, некоторая её степень (натуральная) не содержится в U.
Пусть С топологическая группа, удовлетворяющая 1-ой аксиоме счётности (единица имеет счётную базу окрестностей).
Топологическая группа А архимедова тогда и только тогда, когда для любой топологической группы с 1-ой аксиомой счётности все отображения f:C-->A переводящие фундаментальные произведения в фундаментальные являются ростками непрерывных гомоморфизмов групп.
Здесь сходящие ряды заменил на фундаментальные произведения по причине того, что не предполагается коммутативность (заменва ряда на произведение) и полнота (замена сходимости на фундаментальность).

[Руст]

1. Пусть функция f(x) сходящиеся ряды переводит в сходящиеся ряды. Отсюда ясно, что она непрерывна в 0. Допустим, что она не равна линейной функции ни в какой окрестности 0. Тогда существуют последовательности $y_k,z_k,t_k=y_k+z_n,$ стремящиеся к нулю и $a_k=f(t_k)-f(y_k)-f(z_k)$ отлична от нуля. Тогда взяв ряд с общим членом $x_n=y_k, n=0(mod 3),x_n=z_k, n=1(mod 3), x_n=-t_k,n=2 (mod 3)$, получаем сходящийся ряд (сумма каждых 3 равен 0). Взяв многократный повтор троек, что будет осуществляться, если возьмём следующую зависимость между n и k:
$N_k<=[n/3]<N_{k+1}, N_0=0,N_{k+1}=N_k+[1+\frac {1}{|a_k|}]
добиваемся, что f(x(n)) расходится. Следовательна функция f(x) непрерывна в 0 и в некоторой окрестности нуля выполняется равенство f(x+y)=f(x)+f(y). Отсюда получается линейность в некоторой окрестности.
2. Обобщения доказываются аналогично.

[Genrih]

Можно еще раз про зависимость между n и k ?

[Руст]

Взяв ряд членами которой являются числа из троек c суммой 0 вида $y_k, z_k,t_k=-y_k-z_k$ для которых $a_k=f(y_k)+f(z_k)+f(t_k)\not=0$ , берём эту тройку m(k) раз, чтобы m(k)a(k) стало по модулю больше 1. В этом случае заведомо ряд x(n) сходится, а ряд f(x(n)) расходится. Отсюда заключаем, что в некоторой окрестности 0 из y+z+t=0 вытекает f(y)+f(z)+f(t)=0. Я тут несколько небрежно сократил доказательство. Вначале несколько проще (используя двойки с нулевой суммой) надо было показать, что f(x) нечётная в некоторой окрестности. Эти свойства с непрерывностью в 0 приводят к линейности в некоторой окрестности 0.

[Genrih]

Спасибо за ответ.
Для себя хочу уточнить
Если по предположению, что функция не является линейной, т.е. для точек y,z,t=y+z из какой-то окрестности нуля $f(y)+f(z)+f(-t)\not = 0$ ,
то при таком выборе$x_n$ ряд $\sum x_n$ будет сходится, но как и необходимо: $\sum \limits_{1}^{\infty} f(x_n)$ будет расходится (достаточно посмотреть последний ряд, начиная с некоторогo номера $N$, чтобы y,z были в данной окрестности).
я чего-то не пойму, зачем брать многократный повтор троек (m(k) раз) ?

[Руст]

Предполагая, что в любой окрестности нуля имеются точки y,z,t=y+z, для которых f(y)+f(z)+f(-t) не равно нулю строим сходящийся ряд, состоящий из многократных повторений таких членов (при этом ряд сходится, так как выбранные y,z,t стремятся к нулю), а ряд f(x(n)) расходится. Отсюда заключаем, что если функция переводит сходящиеся ряды в сходящиеся, то найдётся окрестность нуля, где из х+y=0 следует f(x)+f(y)=0. а из x+y+z=0, f(x)+f(y)+f(z)=0. Эти свойства с непрерывностью в 0 приводят, что функция линейная.

[Genrih]

Уяснил. Я при преположении противного квантор существования окрестности забыл "перевернуть" на для любой.
Если есть еще задачи (из анализа) такого сорта, пишите , если Вам не трудно.