Осевая сила взаимодействия двух кольцевых магнитов.

[Timosha]

Добрового времени суток, форумчане. Прошу у вас помощи в решении задачи из области магнитостатики. Изучая тему магнитной левитации, столкнулся с проблемой расчета сил взаимодействия двух магнитов. В иностранных и наших статьях, как правило, нет полных выкладок решения. В качестве примера взял конфигурацию Фирста. В данном случае мы имеем два постоянных кольцевых магнита разного радиуса. Примем внешний радиус большего кольца $r_{out}$, а внутренний $r_{in}$. Высоту большего кольца $h$. Внешний радиус меньшего кольца примем равным $r_{out_2}$, а внутренний - $r_{in_2}$. Внутренняя высота кольца равна $z_a-z_b$ . Следует отметить, что используется кулоновская модель постоянного магнита. Как следствие, каждый кольцевой постоянный магнит представлен двумя заряженными плоскостями, расположенными на верхней и нижней гранях каждого кольца. У большего кольца плотность поверхностных зарядов магнитного поля верхней плоскости составляет $+\sigma$, а нижней $-\sigma$. У меньшего кольца плотность магнитных зарядов верхней поверхности составляет $-\sigma_2$, а у нижней $+\sigma_2$.

Далее вырезка из статьи:
Кроме того, следует отметить, что все иллюстративные расчеты выполняются из соображений, что $\sigma=J \cdot n=1$Тл, где $\vec{J}$ – вектор магнитной поляризации, а $\vec{n}$- единичный нормальный вектор, который направлен в 0.
Так и не понял, почему $\sigma=1$?

Исследованный осевой пассивный магнитный подшипник имеет два кольцевых постоянных магнита, которые должны быть радиально центрированы. Следовательно, имеется только осевая составляющая магнитной силы, которая действует между двумя кольцами. Назовем эту осевую силу $F_z$. Эта осевая сила может быть определена путем интегрирования магнитного поля, создаваемого большим кольцом, на заряженные поверхности меньшего. Обозначая осевую составляющую магнитного поля как
$H_z$ , осевую силу $F_z$ можно записать следующим образом:

$F_z=-\int\int_{S_{up}}H_z \sigma_2dS+ \int\int_{S_{down}}H_z \sigma_2dS$

где $S_{up}$ - верхняя грань меньшего кольца, а $S_{down}$ - нижняя грань меньшего кольца.

Так вот вопрос, из чего появилась эта формула? (выше написано решение представленное в статье
R. Ravaud, G. Lemarquand Senior IEEE and V. Lemarquand "Force and Stiffness of Passive Magnetic Bearings Using Permanent Magnets. Part 1: Axial Magnetization")

Силу, действующую на половинки магнита я пробовал найти следующим способом:
В случае изотропной и линейной связи Н и В (µ константа), для плотности энергии магнитного поля можно записать

$w=\frac 1 2(HB)=\frac 1 2 \mu\mu_0H^2$

Давление на поверхность раздела магнитных сред находится по формуле, представленной ниже

$p=w_1-w_2$

где $w_1$ и $w_2$ – плотности энергии по сторонам границы.

$F=S p=S(w_1-w_2)=\frac 1 2 SB(H_1-H_2)$

Магнитное поле, создаваемое первым магнитом, эквивалентно полю двух круговых витков с разным направлением токов

$B_r=B_{bol}-B_{mal}=\frac 1 2 \mu M(\frac {h-z} {\sqrt {R^2+(h-z)^2}}+\frac {h+z}{\sqrt {R^2+(h+z)^2}}-\frac {h-z} {\sqrt {r^2+(h-z)^2}}-\frac {h+z}{\sqrt {r^2+(h+z)^2}})$

$H_1$ и $H_2$ находил через соотношение

$B=\mu_0H$

В итоге получил огромную формулу, которая еще и не всегда сходится с моделированием....
В общем, форумчане, помогите пожалуйста разобраться! Если есть книжки по магнитостатике, где затрагиваются вопросы решения подобных задач методом зарядов или токов, поделитесь ссылкой. Если знаете где можно почитать про вывод этих формул (а мне кажется она общая для этих случаев) тоже буду благодарен. Вообще буду рад любой информации по этой теме. Заранее благодарю!

[AnatolyBa]

Timosha в сообщении #1217319 писал(а):

Так и не понял, почему $\sigma=1$?

Это примерно соответствует намагниченности стандартных (хороших) промышленных магнитов.

Timosha в сообщении #1217319 писал(а):

Так вот вопрос, из чего появилась эта формула?

Вы, видимо, не до конца верите магнито-электростатической аналогии. Магнитостатическое поле аналогично электростатическому как в смысле вычисления напряженности (индукции) поля по данным источникам (магнитному моменту или намагниченности в магнитостатике, поляризации в электростатике), так и в смысле силовых воздействий.
Если в электростатике плостность сил действующих на поверхность равна $E \sigma$, то в магнитостатике плотность сил будет $H \sigma$ (надо бы в единицах разобраться по-внимательней, но если $\sigma$ измеряется в теслах, видимо все в порядке).
По магнито-электростатической аналогии можно почитать Тамма или Сивухина-3.
.

Timosha в сообщении #1217319 писал(а):

Магнитное поле, создаваемое первым магнитом, эквивалентно полю двух круговых витков с разным направлением токов

Можно представлять поле магнита, как поле токов, это альтернативная эквивалентная методология. Но ваша формула мне непонятна.
Во первых, что такое индекс $r$? Ваша формула похожа на $B_z$ на оси, но тогда, кажется, у вас ошибка в знаках.
Кроме того, хорошо ли применять формулу для индукции на оси? Кольцо-то расположено вне оси. Надо разбираться когда формула применима, а когда нет.
И что вы далее делаете с индукцией? Подход с магнитным давлением в принципе правилен, но надо тщательно разбираться с индукцией, надо учитывать индукцию от обоих магнитов. Не советую, легко запутаться.
Если вы представляете магнит в виде контуров с током, можно рассчитать силу через коэффициенты взаимоиндукции. Взаимоидукцию между двумя круговыми контурами можно найти в книгах по ТОЭ (например, Нейман, Демирчян). Если хотите более точно - взаимоиндукцию между коаксиальными соленоидам можно найти у Цейтлина, Калантарова