Связанный базис квадратной пластинки

[Challenger]

С плоской квадратной фигурой связан базис - один орт по нормали к пластинке, другие два лежат в плоскости пластинки и вращаются с угловой скоростью $\omega$. Переноса центра масс нет. Помогите найти матрицу перехода в этот базис.

Идея:
Один столбец матрицы уже есть $\mathbf{n} $, а два других, назовем их $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 $, мы найдем из условия ортонормировки - решив соответствующую СЛАУ:
\mathbf{n} \cdot \mathbf{e}_i = 0, ~i = 1, 2 и \[ \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}
Здесь 5 уравнений с 6 неизвестными, одной степенью свободы понятно будет угол $\omega t$.

Есть ли более "элегантный" и короткий способ найти такую матрицу (из геом. соображений и т.п), нежели решать данную систему ручками?

[DeBill]

Challenger в сообщении #1217230 писал(а):

Есть ли более "элегантный" и короткий способ

Есть: из определения косинуса и синуса, и рассмотрения соответствующих треугольников, немедленно получаем, что
$e_1 =(\cos \varphi , \sin \varphi , 0), e_2 =(- \sin \varphi , \cos \varphi ,0)$, где $\varphi =\omega t$

[arseniiv]

DeBill
Я так понял, никаких векторов интересующего базиса кроме $\mathbf n$ ни для одного момента времени не известно. Тогда эти замечательные формулы рано применять. Сначала надо найти $\mathbf e_1,\mathbf e_2$ хоть для какого-то момента времени.

Challenger
Если хочется более прямой вычислительной стороны, можно взять произвольный вектор и получить его нормальную $\mathbf n$ составляющую (по очевидной формуле). Если она окажется нулевой, повторить с другим. (Манипуляциями с координатами $\mathbf n$ можно неплохой «затравочный вектор» получить и без угадайки.) Если нет — нормализуем и имеем второй вектор базиса, после чего третий найдём векторным произведением первых двух (польза: можно получить ту ориентацию базиса, какую захочется, выбирая порядок перемножения).

-- Пт май 19, 2017 03:50:27 --

Но вообще, конечно, странно, если у вас есть где-то там именно квадратная пластинка, а направления её сторон неизвестны. Если известны, возьмите для $t = 0$ коллинеарные им векторы, действительно.

[Challenger]

DeBill в сообщении #1217231 писал(а):

Challenger в сообщении #1217230 писал(а):

Есть ли более "элегантный" и короткий способ

Есть: из определения косинуса и синуса, и рассмотрения соответствующих треугольников, немедленно получаем, что
$e_1 =(\cos \varphi , \sin \varphi , 0), e_2 =(- \sin \varphi , \cos \varphi ,0)$, где $\varphi =\omega t$

DeBill
эти вектора необязательно ортогональны $\mathbf{n}$. Необходимо найти $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ в зависимости от $\mathbf{n}$. Простите, если неполно сформулировал задачу.
arseniiv,
Вы подкинули, мне хорошую идею, чтобы найти хоть какие-то $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$. Допустим $\mathbf{e}_1 = (1, 0, -\frac{n_1}{n_2}) $, а $ \mathbf{e}_2$ мы найдем как $ \mathbf{e}_2 = [\mathbf{e}_1, \mathbf{n} ] $

[DeBill]

Challenger
Да, извините, я просто не понял условие.

[arseniiv]

Challenger в сообщении #1217291 писал(а):

Допустим $\mathbf{e}_1 = (1, 0, -\frac{n_1}{n_2}) $

Вообще $n_2$ может быть нулём. Не пытайтесь найти «почти линейную» по координатам $\mathbf n$ формулу, потому что её для трёхмерия не существует. Будет парочка условий на координаты и разные ответы в зависимости от них.

После того как вы нашли этот базис $\mathbf e_1|_{t=0},\mathbf e_2|_{t=0}$, формула DeBill уже как раз самое то, если смотреть на координаты $\mathbf e_1,\mathbf e_2$ как координаты в этом базисе.