Неравенство 13

[TR63]

Требуется доказать неравенство
$\varphi(a,b,c)=a^3\pm f_1(b,c)a^2\pm f_2(b,c)a+f_3(b,c)\ge0$

$f_i\ge0$

$k\varphi(a,b,c)=\varphi(ka,kb,kc)$, $c\le a\le b$

Известно, что при $a+b+c=1$ получается

$a^2+f_4(b,c)a\pm f_5(b,c)\ge0$, $f_i\ge0$

У меня возник вопрос: может ли при таких условиях $\varphi(a,b,c)$ иметь более одного положительного корня (условие $a+b+c=1$ необязательно). Верно ли я думаю, что не может, исходя из количества перемен знака при фиксированных $(b,c)$.
Можно ли доказать или опровергнуть такое предложение.

[TR63]

Уточнение условия

TR63 в сообщении #1215738 писал(а):

Требуется доказать неравенство
$\varphi(a,b,c)=a^3\pm f_1(b,c)a^2\pm f_2(b,c)a+f_3(b,c)\ge0$

$f_3>0$

$k\varphi(a,b,c)=\varphi(ka,kb,kc)$, $c\le a\le b$

Известно, что при $a+b+c=1$ получается

$a^2+f_4(b,c)a- f_5(b,c)\ge0$, $f_5>0$

У меня возник вопрос: может ли при таких условиях $\varphi(a,b,c)$ иметь более одного положительного корня (условие $a+b+c=1$ необязательно). Верно ли я думаю, что не может, исходя из количества перемен знака при фиксированных $(b,c)$.
Можно ли доказать или опровергнуть такое предложение

[TR63]

Поскольку возражений по поводу предложенного свойства нет, то хочу применить его для решения конкретной задачи (из "Олимпиадного раздела"). После приведения к общему знаменателю она принимает вид:

$2a^3+(2b+2c-3t)a^2+[2bc+2tb+2tc-3t(b+c)]a+t(2b^2+2c^2-3bc)\ge0$

$a+b+c=1$, $t=t(b;c)$(однородная)

$2a^3+2(b+c)a^2+[2bc+2tb+2tc]a+t\{2b^2+2c^2-3[a^2+(b+c)a+bc]\}\ge0$

$2a^2+[2bc+2tb+2tc]a+t\{2b^2+2c^2-3(1-c)(1-b)\}\ge0$

Применив свойство, сформулированное выше, получим, что неравенство достаточно исследовать на концах промежутка. Это задача уже техническая. Вольфрам справится при подходящей функции $t(b;c)$.

Повторяю вопрос: корректно ли использовать такое свойство. Я думаю, что да. Но тогда получается слишком простое решение (отсюда сомнение), да, ещё возможно большее обобщение.

[DeBill]

Условие

TR63 в сообщении #1215738 писал(а):

$k\varphi(a,b,c)=\varphi(ka,kb,kc)$, $c\le a\le b$

(однородность)
противоречит

TR63 в сообщении #1215738 писал(а):

$\varphi(a,b,c)=a^3\pm f_1(b,c)a^2\pm f_2(b,c)a+f_3(b,c)\ge0$

(кубическая по $a$).
Т.е., таких функций нет. Поэтому Ваше заключение (как и любое другое) об этой функции верно!

[TR63]

DeBill, с замечанием согласна. Но это, скорее, не точная формулировка (типа опечатки), которая поправима и на ход решения не влияет.
Исправляю:

TR63 в сообщении #1215758 писал(а):

Требуется доказать неравенство
$\varphi(a,b,c)=a^3\pm f_1(b,c)a^2\pm f_2(b,c)a+f_3(b,c)\ge0$

$f_3>0$

$k^3\varphi(a,b,c)=\varphi(ka,kb,kc)$, $c\le a\le b$

Известно, что при $a+b+c=1$ получается

$a^2+f_4(b,c)a- f_5(b,c)\ge0$, $f_5>0$

У меня возник вопрос: может ли при таких условиях $\varphi(a,b,c)$ иметь более одного положительного корня (условие $a+b+c=1$ необязательно). Верно ли я думаю, что не может, исходя из количества перемен знака при фиксированных $(b,c)$.
Можно ли доказать или опровергнуть такое предложение