n*n!=k^2

Ktina · 01/12/11 ∞ 8634

Среди чисел 1, 4, 18, 96, 600, ... (общий член $n\cdot n!$ ) два квадрата видны невооружённым глазом. И такое ощущение, что больше квадратов там нет. А было бы интересно исследовать этот вопрос...

mihaild · 16/07/14 9588 Цюрих

Возьмем простое число между $\frac{n}{2}$ и $n$ - оно входит в это произведение в первой степени, так что произведение не является квадратом.

Ktina · 01/12/11 ∞ 8634

mihaild
Осталось лишь доказать, что между $\dfrac{n}{2}$ и $n$ найдётся простое число.

mihaild · 16/07/14 9588 Цюрих

Это в чистом виде постулат Бертрана.

Ktina · 01/12/11 ∞ 8634

mihaild в сообщении #1216648 писал(а):

Это в чистом виде постулат Бертрана.

(Оффтоп)

mihaild · 16/07/14 9588 Цюрих

Ktina в сообщении #1216651 писал(а):

Вики пишет, что Бертран проверил свой постулат до $n=3000000$ , и это в 1845г! Как такое можно осуществить, не пользуясь компьютером?

Достаточно найти возрастающую последовательность простых, следующее число в которое меньше удвоенного предыдущего. Для этого берем текущее последнее число, удваиваем его и идем вниз, пока не наткнемся на простое (проверить число порядка миллиона на простоту вручную можно).
Для этого нужны

(такие проверки)

Считаем, что четные числа мы сразу отбрасываем - надо обнаружить, что приведенные составные числа имеют нужные делители - так везет, что достаточно $3$ и $5$ , и еще надо проверить на простоту 23 числа. Имея под рукой таблицу простых чисел до $3000$ вполне можно управиться за несколько часов.
(я не знаю, проверял ли он так, или использовал какие-то еще соображения)

Ktina · 01/12/11 ∞ 8634

mihaild
Большое спасибо!

Deggial · 20/11/12 5728

i	Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)» Причина переноса: деление обеих частей на $n^2$ упрощает задачу до неприличия. В таких задачах следует приводить попытки решения и постить их в ПРР

Научный форум dxdy

Правила форума

n*n!=k^2

Кто сейчас на конференции