Достоверное событие против полной группы

[valtih2]

Я правильно понимаю что достоверное событие образует полную группу и таким образом является примером полной группы событий? Интересно также знать как достоверное событие связано с пространством элементарных событий. Оба как говорят обозначаются символом Омега. Совпадение?

[gris]

Рассмотрим конечное пространство элементарных событий с ненулевыми вероятностями. Сумма всех вероятностей равна единице. Объединение любого числа событий будет также событием с вероятностью, равной сумме вероятностей объединяющихся событий. Объединение всех элементарных событий будет событием с вероятностью единица. Как объединение, так и собственно это достоверное событие, обозначаются Омегой.
Мы можем дробить, объединять наши элементарные события и получать новые пространства. Можно даже взять объединение всех элементарных событий и принять его за элементарное, отбросив всякое дробление. В этом случае пространство элементарных событий будет состоять из единственного элементарного события, в бытовом смысле равное прежнему объединению. И его тоже обозначают Омегой.
В случае бесконечного числа элементарных событий всё то же самое, но могут возникать трудности с полным пониманием и каверзные вопросы.

[valtih2]

А прямо ответить на поставленные мною вопросы?

[Xaositect]

А какое у Вас определение достоверного события?

[gris]

А разве я не ответил? Достоверное событие, рассматриваемое само по себе, образует пространство элементарных событий из одного события, которое является объединением всех, то есть одного, элементарных событий, и образует полную группу событий. Оно обозначается Омегой.
Если достоверное событие является объединением всех элементарных событий некоторого пространства, то оно, конечно, образует полную группу событий в этом пространстве и тоже обозначается Омегой.
Естественно обозначать одинаково одинаковые вещи. Если пространство элементарных событий рассматривать как множество, а события как подмножества, то всё множество является подмножеством самого себя, то есть событием. Достоверным.
Хотя многое зависит и от курса, который читает изобретательный лектор. Иногда бывают отклонения от Основной линии

[arseniiv]

valtih2 в сообщении #1216566 писал(а):

А прямо ответить на поставленные мною вопросы?

Этот вопрос выглядит очень интересно на фоне того, что определение вероятностного пространства обычно идёт перед определением случайного события, а уж тем более полной группы оных, а если вы в курсе этого определения, у вас не возникнет ощущения совпадения. Вы будете знать наверняка, почему две одинаковые вещи обозначаются одинаково.

[Лукомор]

gris в сообщении #1216574 писал(а):

Достоверное событие, рассматриваемое само по себе, образует пространство элементарных событий из одного события, которое является объединением всех, то есть одного, элементарных событий, и образует полную группу событий.

Извиняюсь за невольное вторжение, вопрос такого плана:
Можно ли образовать полную группу событий из двух событий, одно из которых достоверное, а второе - невозможное событие? Например,
$\Omega=\left\lbrace \Omega, \varnothing \right\rbrace$.
Имеется в виду: так не принято, или, так не правильно?

[arseniiv]

Во-первых, вы неправильно написали. Никто не говорил, что полная группа событий, включающая $\Omega$, должна так же и обозначаться. (И в теории множеств с аксиомой регулярности вообще $x = \{x,\ldots\}$ невозможно.)

Во-вторых, насчёт $\varnothing$ всё довольно однозначно. Посмотрим сначала в терминах множеств:
• Полная группа событий (не менее одного из них должно произойти) — это просто покрытие вероятностного пространства (состоящее только из событий).
• Группа (попарно) несовместных событий (не более одного должно произойти) — это дизъюнктная система множеств (состоящая из событий).
• Объединяя предыдущее, полная группа несовместных событий (ровно одно должно произойти) — это просто разбиение $\Omega$ (опять же, только на события).

В разбиения $\varnothing$ входить не положено по вполне понятным причинам — чтобы была биекция между ими и отношениями эквивалентности. Можно аналогично наложить такое ограничение и на покрытия (и/или дизъюнктные семейства, но это тут не важно; хотя на что-то из них надо наложить это ограничение, если мы хотим иметь формулировку «разбиение — это дизъюнктное покрытие»). И тогда ваша группа событий не считается.

[Лукомор]

arseniiv в сообщении #1216682 писал(а):

В разбиения $\varnothing$ входить не положено

Спасибо!

[Xaositect]

Потому что там у Вас написано совершенно не то же самое.
Давайте разбираться. У нас есть вероятностное пространство $\Omega$. Элементарные исходы - это элементы $\Omega$. События - это подмножества $\Omega$. Элементарные события - это одноэлементые подмножества $\Omega$. Достоверное событие - это само множество $\Omega$.
Полная группы событий - это разбиение $\Omega$ на события, т.е. множество непересекающихся событий, которое в объединении дает $\Omega$.
В итоге получаем:
1) вероятностное пространство и достоверное событие - это один и тот же объект, множество $\Omega$
2) множество из одного достоверного события $\{\Omega\}$ образует полную группу
3) множество всех элементарных событий образует полную группу.

[Lia]

Lia: Оффтоп отделен в «Правка в Википедии: Достоверное событие».