вершины выпуклого многоугольника.

[Skeptic]

Количество четырёх точек никак не связано с общим числом точек $n$ - это $C_4^n$.

-- 15.05.2017, 08:22 --

Samshit в сообщении #1216068 писал(а):

Условие:
На плоскости отмечено несколько точек. Известно, что любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Докажите, что все отмеченные точки являются вершинами выпуклого многоугольника.

Из условия следует, что отмеченные точки лежат вне выпуклых четырёхугольников. Поэтому они образуют выпуклый многоугольник.

[EUgeneUS]

Являются ли ниже следующие утверждения общеизвестными, или их доказывать нужно:

Для любых четырех точек, лежащих в одной плоскости, при этом любые три из них не лежат на одной прямой:

1. На таких точках можно построить многоугольник (четырехугольник) только одним способом. То есть существует только одна замкнутая и не самопересекающаяся ломанная соединяющая эти точки.

2. Такие точки можно провести 6 прямых (проходящие через каждую пару точек). Утверждение:
а) если для 4 прямых оставшиеся две точки лежат по одну сторону, а для 2 - по разные, то четырехугольник выпуклый.
б) если для 3 прямых оставшиеся две точки лежат по одну сторону, а для 3 - по разные, то четырехугольник вогнутый.
в) других вариантов не бывает.

Дальше, вроде, просто.

[ET]

EUgeneUS в сообщении #1216517 писал(а):

Для любых четырех точек, лежащих в одной плоскости, при этом любые три из них не лежат на одной прямой:

1. На таких точках можно построить многоугольник (четырехугольник) только одним способом. То есть существует только одна замкнутая и не самопересекающаяся ломанная соединяющая эти точки.
.

Нет, конечно. И доказывать не нужно

[EUgeneUS]

ET

Хм, и действительно.

Тогда так:
1. Либо выпуклый - только одним образом.
2. Либо вогнутых - несколько (3?).

Но критерий из пункта 2 (про шесть прямых) - все равно работает.

[ET]

EUgeneUS в сообщении #1216519 писал(а):

ET

Хм, и действительно.

Тогда так:
1. Либо выпуклый - только одним образом.
2. Либо вогнутых - несколько (3?).

Но критерий из пункта 2 (про шесть прямых) - все равно работает.

Не уследил, о чем сейчас речь, но если об изначальной задаче, то очевидно следующее:
Делаем триангуляцию выпулклой оболочки, если какая-то точка внутри, то берем ее с вершинами треугольника, куда она попала
но вообще-то, это решение, если вчитаться, на предыдущей странице расписано слишком формально.

[DeBill]

ET в сообщении #1216520 писал(а):

Делаем триангуляцию выпулклой оболочки,

Ну да, это уже было, и это, конечно , решение. Причем требование общности положения совсем не нужно: ну , подумаешь, точка попадает на границу тр-ка из триангуляции: все равно будет противоречие...

[ET]

DeBill в сообщении #1216902 писал(а):

ET в сообщении #1216520 писал(а):

Делаем триангуляцию выпулклой оболочки,

Ну да, это уже было, и это, конечно , решение. Причем требование общности положения совсем не нужно: ну , подумаешь, точка попадает на границу тр-ка из триангуляции: все равно будет противоречие...

Сама "теорема" без общности положения не работает
Для 5 точек: 4 квадратом и одна в центре любые 4 точки образуют выпуклый.. четырехугольник, возможно с одним из углов 180 градусов. А сам точки не образуют выпуклый 5угольник

[DeBill]

ET в сообщении #1216904 писал(а):

выпуклый.. четырехугольник,

Пардон, я всегда думал, что у четырехугольника таки четыре угла....

[ET]

DeBill
не понял, о чем вы
Для точек не общего положения утверждение несправедливо. Мне казалось, это на прошлой странице писалось

[DeBill]

ET в сообщении #1216941 писал(а):

не понял, о чем вы

Да вот об этом:

ET в сообщении #1216904 писал(а):

четырехугольник, возможно с одним из углов 180 градусов.

Такой четырехугольник принято называть треугольником. Так что, если под "четырехугольником" понимать традиционный чет-к, то утверждение будет верным. Но если разрешить треугольные чет-ки - то тогда, конечно...