Логические высказывания

[xjar1]

Здравствуйте, при чтении литературы возникло несколько вопросов.
Если высказывание записано с помощью $\[ \Rightarrow \]$, можно ли его переписать? Например:
Высказывание $\[{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})\]$ заменить на $\[\forall {x_1},{x_2}({x_1} \ne {x_2}) : f({x_1}) \ne f({x_2})\]$
Или $\[(x \in P) \Rightarrow (A(x) \in P)\]$ заменить на $\[\forall x \in P : A(x) \in P\]$
Правильно я понимаю, что лучше в этих случаях использовать одинарную стрелку: $\[ \to \]$, т.к. "двойные" используются в цепочке утверждений при доказательстве?
И еще, формулировки некоторых теорем приводятся так:($A,B,C$ - утверждения)
Пусть $A$. Тогда если $B$, то $C$. Равносильно ли это такому: $\[(A \wedge B) \Rightarrow C\]$ ?

[mihaild]

Разницу между $\Rightarrow$ и $\rightarrow$ надо смотреть в конкретных источниках (если она вообще есть). Я сходу не могу вспомнить, где бы $\Rightarrow$ вообще использовалась.

xjar1 в сообщении #1216461 писал(а):

$\[\forall {x_1},{x_2}({x_1} \ne {x_2}) : f({x_1}) \ne f({x_2})\]$

Это вообще не формула. Обычно атомарные формулы собираются навешиванием предикатного символа на термы (например, $f(x) = g(y)$ - что совсем формально надо бы записывать как $=(f(x), g(y))$), а произвольные формулы собираются из атомарных с помощью логических связок и навешивания кванторов - так что после $\forall x$ должна идти какая-то формула (в скобках). Есть соглашения о сокращениях - опускании скобок после кванторов (при необходимости можно поставить двоеточие), замены нескольких одинаковых кванторов одним - например $\exists x(\exists y(\exists z(\ldots)))$ можно заменить на $\exists x,y,z: \ldots$.
Аналогично $\forall x\in P: F(x)$ - это сокращение для $\forall x: (x \in P \rightarrow F(x))$.

xjar1 в сообщении #1216461 писал(а):

Пусть $A$. Тогда если $B$, то $C$. Равносильно ли это такому: $\[(A \wedge B) \Rightarrow C\]$ ?

Является ли $(A \rightarrow (B \rightarrow C)) \leftrightarrow ((A \wedge B) \rightarrow C)$ тавтологией исчисления высказываний?

[arseniiv]

xjar1
Хочется добавить к уже написанному: не надо ничего заменять просто «чтобы было».

[popolznev]

arseniiv в сообщении #1216470 писал(а):

не надо ничего заменять просто «чтобы было».

Этот принцип сам по себе очень хороший и правильный, но как отзыв на попытки ТС - он несправедлив. Человек честно пытается разобраться, увидеть равносильности. Если он самостоятельно нащупал взаимосвязь импликации и ограниченного квантора общности - так он вообще молодец. А за то, что не умеет пока грамотно записывать, не стоить забрасывать тухлыми яйцами.

[arseniiv]

popolznev в сообщении #1216484 писал(а):

Если он самостоятельно нащупал взаимосвязь импликации и ограниченного квантора общности - так он вообще молодец.

Наверно. Но если взять импликацию, на которую не навешено никаких кванторов (или навешен $\exists$) — м-хм*… Может быть, стоит упомянуть верную в классической логике эквивалентность $(\varphi\to\psi)\leftrightarrow(\neg\varphi\vee\psi)$, не знаю. Если хочется переписывать. По-моему, всё же стоит понять смысл, а половина способов переписывания отсюда последует автоматически. (Всё-всё, не ворчу. ) Можно было бы посоветовать учебник, но надо иметь какой-то контекст.

* Неявные кванторы всеобщности по свободным переменным в некоторых случаях — отдельный вопрос, и я чувствую, что если упоминать всё это скопом, получится только каша. А виновата в необходимости упоминания всего этого именно постановка вопроса.

[xjar1]

Спасибо за ответы!
Если честно, не силен в мат. логике, пока углубляться сильно не хотется, в данный момент изучаю алгебру.
К сожалению, так и не могу понять в чем разница между этими определениями:(инвариантного пространства, например)
$\[(x \in P) \rightarrow (\mathcal{A}x \in P)\]$ или $\[\forall x \in P : \mathcal{A}x \in P\]$
Разве таким образом определяются разные вещи?

[mihaild]

xjar1 в сообщении #1216506 писал(а):

в чем разница между этими определениями:(инвариантного пространства, например)
$\[(x \in P) \rightarrow (\mathcal{A}x \in P)\]$ или $\[\forall x \in P : \mathcal{A}x \in P\]$

Ни в чем, это разные способы сокращенной записи одной и той же формулы.

[epros]

xjar1 в сообщении #1216506 писал(а):

$\[(x \in P) \rightarrow (\mathcal{A}x \in P)\]$ или $\[\forall x \in P : \mathcal{A}x \in P\]$

Насколько я понимаю, написанное справа - это жаргонизм, ибо кванторы, строго говоря, ставятся на переменных, а не на формулах (типа $x \in P$). Грамматически правильная формула в логике первого порядка: $\forall x ~ ((x \in P) \rightarrow (\mathcal{A}x \in P))$. Но написанное слева (без квантора) - тоже правильно, ибо есть варианты бескванторного синтаксиса, когда при наличии в формуле свободной переменной квантор всеобщности подразумевается автоматически.